命题XXXI 问题XII

在一个椭圆轨道上求月球的交点的小时运动。

指定Qpmaq为以长轴Qq，短轴ab画出的一个椭圆，QAqB为一个外接圆；T为在两者公共的中心的地球，S为太阳，p为在椭圆上运动的月球，且pm为在给定的极短的时间段月球画出的弧，N和n为由直线Nn连结的交点，pK和mk为落在轴Qq上的垂线并向两边延长直到它们交圆于P和M，且与交点线交于D和d。再者，如果月球，由向地球引的一个半径，画出的面积与时间成比例，在椭圆上的交点的小时运动如同面积pDdm和AZ_q的联合。

因为，如果PF切圆于P，且延长交TN于F，又pf切椭圆于p并延长交同一TN于f，这些切线在轴TQ上相遇于Y；且如果指定ML为一段空间，它能由在圆上运行的月球，在它画出弧PM期间，在以上说过的力3IT或者3PK的压迫和推动下以横向的运动画出；且指定ml为一段空间，它能由在椭圆上运行的月球在相同时间，也在力3IT或者3PK的推动下画出；再延长LP和lp直到它们交黄道的平面于G和g；又连结FG和fg，延长其中的FG分别截pf，pg和TQ于c，e和R，且延长fg截TQ于r。因为在圆上的力3IT或者3PK比在椭圆上的力3IT或者3pK，如同PK比pK，或者AT比aT；由前一个力生成的空间ML比后一个力生成的空间ml，如同PK比pK，亦即，由于图形PYKp和FYRc相似，如同FR比cR。但是ML比FG（由于三角形PLM，PGF相似）如同PL比PG，这就是（由于Lk，PK，GR平行）如同pl比pe，亦即（由于三角形plm，cpe相似）如同lm比ce；且与LM比lm成反比，或者如同FR比cR，于是如同FG比ce。所以，如果fg比ce如同fY比cY，亦即，如同fr比cR（这就是，如同fr比FR和FR比cR的联合，亦即，如同fT比FT和FG比ce的联合），因为两边除去FG比ce之比，剩下fg比FG之比和fT比FT之比，有fg比FG如同fT比FT；且因此FG和fg 对地球T所张的角彼此相等。但那些角（由我们在上一命题所陈述的）等于是交点的运动，在此期间月球在圆上跑过弧PM，在椭圆上跑过弧pm；且所以在圆上和在椭圆上交点的运动彼此相等。事情就是如此，只要fg比ce如同fY比cY，亦即，如果fg等于 。但是，由于三角形fgp，cep相似，fg比ce如同fp比cp；且因此fg等于 ；且所以角，它由fg实际张成，比前一个角，它由FG张成，这就是，在椭圆上交点的运动比在圆上交点的运动，如同这个fg或者 比前一个fg或者 ，亦即，如同fp×cY比fY×cp，或者fp比fY和cY比cp，这就是，如果与TN平行的ph交FP于h，如同Fh比FY和FY比FP；这就是，如同Fh比FP或者Dp比DP，且因此如同面积Dpmd比面积DPMd。且所以，因为（由命题XXX系理1）后一个面积和AZ_q的联合与在圆上交点的小时运动成比例，则前一个面积和AZ_q的联合与在椭圆上交点的小时运动成比例。此即所证。

系理 所以，由于在交点的任意给定的位置，在月球从方照前进到任意的位置m期间，所有面积pDdm的和，等于面积mpQEd，它由椭圆的切线QE界定；在一次完整的运行中，所有那些面积之和等于整个椭圆的面积：在椭圆上交点的平均运动比在圆上交点的平均运动，如同椭圆比圆；亦即，如同Ta比TA，或者69比70。且所以，因为（由命题XXX系理2）在圆上交点的平均小时运动比16″.35.16^iv.36^v如同AZ_qu.比AT_qu.，如果取角16″.21.3^iv.30^v比角16″.35.16^iv.36^v如同69比70，则在椭圆上交点的平均小时运动比16″.21.3^iv.30^v如同AZ_qu.比AT_qu.；这就是，如同交点离太阳的距离的正弦的平方比半径的平方。

但月球，由向地球引的一条半径，画出的面积在方照比在朔望迅速，且因此在朔望的时间被缩短，在方照被延长；又交点的运动随着时间被增大或者减小。但在月球的方照面积的瞬比在朔望它的瞬如同10973比11073，且所以在八分点时平均的瞬比在朔望时的超出，以及在方照时的缺失，如同那些数的和之半11023比它们的差之半50。因此，由于月球在其轨道的每一个相等的小部分的时间与它的速度成反比，在八分点时的平均的时间比在方照时时间的超出，以及在朔望时的缺失，由于这个原因，很接近地如同11023比50。但对从方照到朔望，我发现在任一个位置的面积的瞬对在方照的最小的瞬的超出，很近似地如同月球离方照的距离的正弦的平方；且所以在任意位置的瞬和在八分点的平均的瞬的差如同月球离方照的距离的正弦的平方与45度的正弦的平方，或者半径的平方的一半的差；且在八分点和方照之间任一位置的时间的增量，以及在八分点和朔望之间其减量，按照相同的比。但交点的运动，在此期间月球跑过任一相等的一小段轨道，按照时间的二次比被加速或者迟滞。因为那个运动，当月球跑过PM（其他情况相同）期间，如同ML，又ML按照时间的二次比。所以，交点在朔望的运动，在月球跑过其轨道的给定的小部分的时间所完成的，按照数11073比数11023的二次比减小；且减量比剩余的运动如同100比10973，比总的运动很近似地如同100比11073。但在八分点和朔望之间的位置上的减量和在八分点和方照之间的位置上的增量，比这个减量，很近似地如同在那些位置的整个运动比在朔望的整个运动，和月球离方照的距离的正弦的平方与半径的平方的一半之间的差比半径的平方的一半的联合。因此如果交点在方照，并取离八分点等距离的两个位置，一个在一侧，一个在另一侧，且离朔望和离方照以同样的距离取另两个位置，又若从在朔望和八分点之间的两个位置的运动的减量减去在其余两个位置的运动的增量，这两个位置在八分点和方照之间；剩下的减量等于在朔望的减量，进行计算容易得出。且所以，平均的减量，应从交点的平均运动减去的，是在朔望的减量的四分之一。在朔望交点的整个小时运动，在月球向地球所引半径画出的面积被假定为与时间成比例时，为32″.42.7^iv。且交点的运动的减量，在现在月球更迅速地画出相同的空间的时间里，按我们刚才所说，比这个运动，如同100比11073；且因此那个减量为17.43^iv.11^v，它的四分之一为4.25^iv.48^v，从上面发现的平均小时运动16″.21.3^iv.30^v减去它，剩下正确的平均小时运动16″.16.37^iv.42^v。

如果交点在方照之外，且针对离朔望距离相等的两个位置，一个在一侧，一个在另一侧；当月球在这些位置时，交点的运动的和，比当月球在同样的位置且交点在方照时运动的和，如同AZ_qu.比AT_qu.。且运动的减量，它起源于刚才阐述的原因，相互之比如同运动自身，所以剩下的运动相互之比如同AZ_qu.比AT_qu.，且平均运动如同剩下的运动。于是正确的平均小时运动，在交点任意给定的位置，比16″.16.37^iv.42^v，如同AZ_qu.比ATqu.；亦即，如同交点离朔望的距离的正弦的平方比半径的平方。