命题XXX 问题XI

在一个圆轨道上求月球的交点的小时运动。

指定S为太阳，T为地球，P为月球，NPn为月球的轨道，Npn为轨道在黄道的平面上的投影，N，n为交点，nTNm为无限延长的交点线；PI，PK为落到直线ST，Qq上的垂线，Pp为落到黄道的平面上的垂线；A，B为在黄道的平面上的月球的朔望；AZ为落到交点线Nn上的垂线；Q，q为月球在黄道的平面上的方照，且pK为落到方照之间的直线Qq上的垂线。摄动月球的运动（由命题XXV）的太阳之力是分成两部分的，其中一部分与这个命题的图形中的直线LM成比例，另一部分与直线MT成比例。且前一个力把月球拉向地球，后一个力沿从地球到太阳所引直线的平行线把它拉向太阳。前一个力LM沿月球的轨道的平面作用，且所以一点也不改变平面的位置。因此这个力被忽略了。后一个力MT对月球轨道的摄动与力3PK或者3IT是相同的。且这个力（由命题XXV）比一个力，由它月球能在围绕静止的地球的圆上以自己的循环时间均匀地运行，如同3IT比圆的半径乘以数178.725，或者如同IT比半径乘以数59.575。但在这个计算，以及以后的一切计算中，我考虑所有自月球到太阳所引的直线作为平行于自地球到太阳所引的直线；因为如此的倾斜在一些情形下对所有影响的减小几乎与它在另一些情况下对所有影响的增大一样；且我们探究交点的平均运动，忽略这样的枝节，它们会使计算受到过多的阻碍。

现在指定PM为一段弧，它由月球在给定的极短的时间画出，且ML为一条短线，在相同的时间月球在施加所说的力3IT的情况下能画出它的一半。连结PL，MP并延长它们至m和l，在那里它们与黄道的平面相截；又在Tm上落下垂线PH。又，因为直线ML平行于黄道的平面；且因此，由于直线ml位于那个平面上，它们不可能相交，然而这两条直线位于一个共同的平面LMPml上；这些直线平行，且由此三角形LMP，lmP相似。现在，由于MPm在轨道的平面上，在其上在位置P的月球在运动，Mpm交过那个轨道的交点N，n引的直线Nn于点m。又由于力，由它短线LM的一半被生成，如果整个力同时且一次施加于位置P，将生成那整条直线；并使月球沿其弦为LP的弧运动，因此月球从平面MPmT上被迁移到平面LPlT上；由那个力产生的交点的角运动等于角mTl。但是ml比mP如同ML比MP，且所以，由于MP因为时间的给定而被给定，ml如同矩形ML×mP，亦即，如同矩形IT×mP。又，角mTl，只要角Tml为直角，就如同（ml）/（Tm），且因此如同（IT×Pm）/（Tm），亦即（由于Tm和mP，TP和PH成比例）如同（IT×PH）/（TP），由于TP给定，因此如同ML×PH。但是，如果角Tml，或者角STN是倾斜的，角mTl按照角STN的正弦比半径，或者AZ比AT之比而更小。所以交点的速度如同IT×PH×AZ，或者如同三个角TPI，PTN和STN的正弦之下的容量。

如果那些角，当交点在方照和且月球在朔望时，为直角，短线ml远离以至无穷，且角mTl变得等于角mPl。但在这种情况下，角mPl比角PTM，它由月球在相同的时间由它的视运动围绕地球画出，如同1比59.575。因为角mPl等于角LPM，亦即，等于月球从一直线路径偏转的角，它能单独由所说过的太阳的力3IT在那段给定的时间生成，如果月球的重力消失；且角PTM等于月球从一直线路径偏转的角，它能由月球被保持在它自己的轨道上的那个力在相同的时间生成，如果太阳的力3IT消失。且这些力，按照我们上面所说，彼此之比如同1比59.575。所以，由于月球相对于恒星的小时平均运动为32′.56″.27. ^iv，在这种情况下交点的小时运动为33″.10.33^iv.12^v。但是在其他情形，交点的小时运动比33″.10.33^iv.12^v如同三个角TPI，PTN，和STN的正弦（或者月球离方照的，月球离交点的和交点离太阳的距离）之下的容量比半径的立方。且每当任一个角的符号从正变负，且又从负变正时，退行运动应变为前行运动且前行运动变为退行运动。因此，当月球位于方照之一和离方照最近的交点之间时，交点前行。在其他情形，交点退行，且由于退行对前行的超出交点每月被携带着向后移动。

系理1 因此，如果从给定的极短的弧PM的端点P和M，向连结方照的直线Qq落下垂线PK，Mk，并延长这些垂线直到它们截交点线Nn于D和d；交点的小时运动如同面积MPDd和直线AZ的平方的联合。因为PK，PH和AZ为上述的三个正弦。即月球离方照的距离的正弦PK，月球离交点的距离的正弦PH，和交点离太阳的距离的正弦AZ：交点的速度如同容量PK×PH×AZ。但是，PT比PK如同PM比Kk，且因此，由于PT和PM给定，Kk和PK成比例。又，AT比PD如同AZ比PH，且所以PH与矩形PD×AZ成比例，再由比的联合，PK×PH如同容量Kk×PD×AZ，且PK×PH×AZ如同Kk×PD×AZ_qu.，亦即，如同面积PDdM和AZ_qu.的联合。此即所证。

系理2 在交点的任何给定的位置，其小时平均运动是在月球的朔望时的小时运动的一半，且因此它比16″.35.16^iv.36^v的比如同交点离朔望的距离的正弦的平方比半径的平方，或者如同AZ_qu.比AT_qu.。因为如果月球以均匀的运动经过半圆QAq，在月球从Q前进到M期间，所有的面积PDdM的和是面积QMdE，它由圆的切线QE界定；且月球到达点n的时间，那个和是整个面积EQAn，它由直线PD画出，然后月球从n前进到q，直线PD落在圆的外面，并画出由圆的切线qe界定的面积nqe；它，因为交点在前面退行而现在前行，应从前者的面积中减去，且因为它等于面积QEN，剩下半圆NQAn。所以在月球画出半个圆的一段时间，所有面积PDdM的和是半圆的面积；且在月球画出一个圆的时间所有的面积的和是整个圆的面积。但是面积PDdM，当月球在朔望时，是弧PM和半径PT之下的矩形；且在月球画出一个圆的时间，等于这个面积的所有面积的和是整个圆周和圆的半径之下的矩形；且这个矩形，由于它等于两个圆，是前一个矩形的两倍。因此，如果交点以它们在月球的朔望所具有的速度均匀地持续，它们将画出二倍于它们实际画出的空间；且所以平均的运动，如果以它均匀地持续，能画出它们以不等的运动实际画出的空间，是它们在月球的朔望所具有的运动的一半。因此，由于最大的小时运动，如果交点在方照，是33″.10.33^iv.12^v，在这一情形的小时平均运动是16″.35.16^iv.36^v。且由于交点的小时运动总如同AZ_qu.和面积PDdM的联合，且所以交点的小时运动在月球的朔望如同AZ_qu.和面积PDdM的联合，亦即（由于画出的面积PDdM在朔望被给定）如同AZ_qu.，平均运动也如同AZ_qu.；且因此这个运动，当交点在方照之外，比16″.35.16^iv.36^v，如同AZ_qu.比AT_qu.。此即所证。