命题XXVIII 问题IX

求轨道的直径，月球应在其上运动，它无偏心率。

由一个运动物体画出的轨道的曲率，如果它沿垂直于那个轨道的方向被牵引，与吸引成正比且与速度的平方成反比。我假定曲线的曲率彼此按照相对于相等的半径的切角的正切或者正弦的最终比，当那些半径减小以至无穷时。但在朔望向着地球的月球的吸引是其向着地球的重力对太阳的力2PK的超出（见527页上的图），由这个力［2PK］向着太阳的月球的加速重力超过向着太阳的地球的加速重力或者被后者超过。但在方照，那个吸引是向着地球的月球的重力和太阳的力KT的和，由它［KT］月球被向着地球牵引。且这些吸引，如果称 为N，很近似地如同 - 和 + ；或者如同178725N×CT_q－2000AT_q×CT和178725N×AT_q+1000CT_q×AT。因为如果向着地球的月球的加速重力用数178725表示，平均力ML，它在方照等于PT或者TK并向着地球牵引月球，为1000，则平均力TM在朔望为3000；如果从它减去平均力ML，被保留的力为2000，由它月球在朔望被拉离地球，且我在上面称它为2PK。但是在朔望A和B时月球的速度比它在方照C和D时的速度，如同CT比AT和在朔望时由向地球引半径的月球所画的面积的瞬比在方照时同样的面积的瞬的联合，亦即，如同11073CT比10973AT。取这个比的反比两次和前一个比的正比一次，则月球的轨道在朔望的曲率比在方照它的曲率成为120406729×178725AT_q×CT_q×N－120406729×2000AT_qq×CT比122611329×178725AT_q×CT_q×N+122611329×1000CT_qq×AT，亦即，如同2151969AT×CT×N－24081AT_cub.比2191371AT×CT×N+12261CT_cub.。

因为不知道月球的轨道的形状，假设我们代之以一个椭圆DBCA，地球被放置在它的中心，且其长轴DC位于方照之间，短轴AB位于朔望之间。但是，由于这个椭圆的平面以一个角运动围绕地球旋转，且轨道，我们正考虑其曲率，应在完全失去所有角运动的平面上被画出，我们必须考虑一个图形，它由月球在那个椭圆上运行时在这个平面上画出，这就是图形Cpa，它的每个点p这样被发现，在椭圆上取任意点P，它表示月球的位置，并引Tp等于TP，使得角PTp等于太阳自方照C后完成的视运动；或者（这几乎得出相同的结果）使得角CTp比角CTP如同月球的会合周期的时间比循环运行的时间，或者29^d..12^h.44′^（52）比27^d..7^h.43′。所以按相同的比取角CTa比直角CTA，并使长度Ta等于TA，则a 为这个轨道Cpa的下拱点且C为上拱点。但是，通过计算，我发现轨道Cpa在顶点a的曲率，和以中心T间隔TA所画出的圆的曲率之间的差，比椭圆在顶点A的曲率和同一个圆的曲率的差，按照角CTP比CTp的二次比；且椭圆在A的曲率比那个圆的曲率，按照TA比TC的二次比；又那个圆的曲率比以中心T和间隔TC所画出的圆的曲率，如同TC比TA；但这个曲率比椭圆在C的曲率，按照TA比TC的二次比；则椭圆在顶点C的曲率和最后一个圆的曲率之间的差，比图形Tpa在顶点C的曲率和同一个圆的曲率之间的差，按照角CTp比角CTP的二次比。这些比容易从切角的和那些角的差的正弦推得。此外，通过相互比较这些比，得出图形Cpa在a的曲率比在C它的曲率，如同AT_cub.+ CT_q×AT比CT_cub.+ AT_q×CT。这里数 代表角CTP和CTp的平方的差除以较小的角CTP的平方，或者（这是一样的）时间27^d..7^h.43′和29^d..12^h.44′的平方的差除以时间27^d.7^h.43′的平方。

所以，由于指定a为月球的朔望，且C为它的方照，刚才发现的比例应与上面已发现的月球的轨道在朔望的曲率比在方照它的曲率是相同的。因此，为发现CT比AT的比例，我将外项和外项且内项和内项彼此相乘。把得到的项除以AT×CT，变成2062.79×CT_qq－2151969N×CT_cub.+368676N×AT×CT_q+36342 AT_q×CT_q－362047N×AT_q×CT+2191371N×AT_cub.+4051.4AT_qq=0。当我把项AT和CT的和之半N写成1，且它们的差之半设为x，则CT＝1＋x，且AT＝1－x；在方程中代入这些值并解所得的方程，得到x等于0.00719，且因此半直径CT为1.00719，半直径AT为0.99281，这些数彼此非常近似地如同 和 。所以，月球在朔望时离地球的距离比在方照时它离地球的距离（摈弃考虑偏心率）如同 比 ，或者取整数如同69比70。