命题XXVI 问题VII

求面积的小时增量，它由从月球向地球所引的半径在一圆形的轨道上画出。

我们曾说过，面积，它由向地球引半径的月球画出，与时间成比例，但月球的运动由于太阳的作用而受到的扰动除外。我们计划在这里研究［在扰动的情况下］瞬的不等性，或者小时增量。为了使计算更容易，我们想象月球的轨道是圆形的，且除了这里讨论的不等性之外，我们忽略其他一切不等性。由于太阳的巨大的距离，我们也假设直线SP，ST彼此平行。按这种方式，力LM总被化为其自身的平均量TP，且因此力TM将化为其自身的平均量3PK。这些力（由诸定律的系理II）合成力TL；且如果向半径TP落下一条垂线LE，这个力被分解为力TE，EL，其中的TE总沿半径TP作用，对由那个半径TP画出的面积TPC既不加速，也不迟滞；而EL，它沿半径的垂直方向作用，按照它对月球加速或者迟滞的大小，加速或者迟滞画出的面积。月球的那个加速度，在它自方照C到合A的路径中的每一个瞬间所成的，如同加速力EL自身，这就是，如同 。时间由月球的平均运动，或者（这几乎得出相同的结果）由角CTP，或者由弧CP表示。以直角在CT上竖立CG等于CT。且圆周的四分之一弧AC被分成无数相等的小部分Pp，等等，由它们相同数目的相等的时间小段能被表示，又引pk垂直于CT，连结TG交KP，kp的延长于F和f；则FK等于TK，且Kk比PK如同Pp比Tp，这就是，按照给定的比，且因此FK×Kk或者面积FKkf，如同 ，亦即，如同EL；且由复合，整个面积GCKF如同在整个时间施加于月球的力EL的总和，因此也如同由这个和生成的速度，亦即，如同画出面积CTP的加速度，或者瞬的增量。力，由它月球能在其27天7小时43分钟的循环时间CADB，以距离TP围绕静止的地球运行，它使一个物体在时间CT下落，画出 CT的一个长度，并获得一个速度，它等于月球在自己的轨道上运动的速度。这由第I卷命题IV系理9是显然的。但是，因为向TP垂直落下的Kd是EL的三分之一，它等于在八分点的TP的或者ML的一半，在八分点的力EL，在这里它最大，按照3比2之比超过力ML，且因此比那个力，由它月球能在自己的循环时间围绕静止的地球运行，如同100比 ×17872 或者11915，则在时间CT应生成一个速度，它是月球速度的 ，但在时间CPA按照CA比CT或者TP之比，生成较大的一个速度。设在八分点的最大的力EL用等于矩形 TP×Pp的面积FK×Kk表示。且速度，它能由最大的力在任意时间CP生成，比一个速度，它由较小的力EL在相同的时间生成，如同矩形 TP×CP比面积KCGF；但在整个时间CPA生成的速度彼此如同矩形 TP×CA和三角形TCG，或者如同四分之一圆的弧CA和半径TP。且因此（由《几何原本》第V卷命题IX）后一速度，在整个时间所生成的，是月球的速度的 。对月球的这个速度，它与面积的平均的瞬相似，加上并减去另一个速度的一半；且如果平均的瞬用数11915表示，则和11915＋50或者11965表示在朔望A时面积的最大的瞬，且差11915－50或者11865表示在方照时同一面积的最小的瞬。所以，在相等的时间在朔望和在方照画出的面积，彼此如同11965比11865。最小的瞬11865加上一个瞬，它比瞬的差100如同四边形FKCG比三角形TCG（或者结果一样，如同正弦PK的平方比半径TP的平方，亦即，如同Pd比TP）；则和表示当月球在居间的任意位置P时面积的瞬。

所有这些事情如此，是来自一个假设：太阳和地球静止，且月球运行的会合周期为27天7小时43分钟。但由于月球真实的会合周期为29天12小时44分钟，瞬的增量应接时间之比增大，亦即，按照1080853比1000000的比。按这种方式，总的增量，它是平均的瞬的 ，现在成为平均的瞬的 。且因此在方照时面积的瞬比在朔望时面积的瞬，如同11023－50比11023＋50，或者10973比11073；且比面积的瞬，当月球在其他居间的任意位置P时，如同10973比10973＋Pd，TP取作等于100。

所以，面积，它由向地球引半径的月球在每一相等的时间小段画出，在一个半径为一的圆上，非常近似地如同数219.46 及二倍月球离最近的方照的距离的正矢之和。当变差在八分点是其平均的大小时，有以上这些情形。但如果在那里的变差较大或者较小，那个正矢应按相同的比增大或者减小。