命题XX 问题IV

求出并相互比较物体在地球上不同区域的重量。

因为在水的管道ACQqca的不等的股中的重量相等；且部分的重量，它与整个股成比例，又在整个股中处于相似的位置，彼此如同整个重量，且因此也相互相等；重量相等且在股中处于相似位置的部分与股成反比，亦即，与230比229成反比。任意同质且相等的物体处于管道的股中相似的位置，情形相同。这些物体的重量与股成反比，亦即，与物体离地球中心的距离成反比。因此如果物体在管道的最上端部分，或者位于地球的表面，它们的重量彼此与它们离中心的距离成反比。且由同样的论证，［物体］在整个地球表面上的任意区域的重量，与位置离中心的距离成反比；且所以，由地球为扁球的假设，［那些重量的］比被给定。

由此导出定理：从赤道向两极前进时，重量的增加很接近地如同纬度的二倍的正矢，或者同样，如同纬度的正弦的平方。且在一条子午线上，纬度的弧近似地按照相同的比增大。且因此，由于巴黎的纬度为48^gr..50′^（49），在赤道上的位置的纬度为00^gr..00′，且在两极位置上的纬度为90^gr.，又那些纬度的二倍的正矢为11334，00000和20000，半径为10000，且在两极的重力比在赤道的重力如同230比229，则在两极重力的超出比在赤道的重力如同1比229：在巴黎的纬度，重力的超出比在赤道的重力，如同1× 比229，或者5667比2290000。且所以，在这些位置的总的重力彼此如同2295667比2290000。因此，由于振动时间相等的摆的长度如同重力，且在巴黎的纬度每秒振动的摆的长度为三巴黎呎又 吩，或者由于空气的重量，更好些，为 吩；在赤道的摆的长度被在巴黎的等时的摆的长度超过，超出为一又千分之八十七吩。且类似的计算产生下表。

所以，由这张表，度数的不等性如此之小，使得在地理学之事上能用球形代替地球的形状是显然的，如果地球往赤道的平面比往两极略为致密时尤其如此。

现在一些天文学家被派到遥远的地区做天文观测，观察到他们的摆钟靠近赤道比在我们的地区慢。而且事实上，这首先由里奇先生于1672年在卡宴岛上观察到。因为当他在8月份正观察恒星经过子午线时，他发现他自己的时钟比他应相对的太阳的平均运动慢，差为每天2′.28″。然后通过一台精良的时钟的测量，一架按秒振动的单摆被制成，他记下单摆的长度，且在十个月中的每一周重复此事多次。当他返回法兰西时，他将这架摆的长度与在巴黎的［按秒振动的］摆的长度相比较（它是三巴黎呎八又五分之三吩），发现它较短，差为一又四分之一吩。

后来，我们的同国人哈雷约于1677年航行到了圣赫勒拿岛，他发现他自己的摆钟在那里比在伦敦运动得慢，但他没有记录［时间的］差。他使他的时钟的摆缩短超过八分之一吋，或者一又二分之一吩。为达到这一目的，由于在摆的下端的螺帽的长度不够，他在螺帽和摆的重物之间置入一个木环。

此后，在1682年，瓦伦先生和得海斯先生发现在巴黎皇家天文台一架按秒振动的摆的长度为3呎 吩。且在戈雷岛他们用同样的方法发现等时的摆的长度为3呎 吩，长度的差为2吩。在同一年他们又航行到瓜德罗普岛和马提尼克岛，发现在这些岛上等时的摆的长度为3呎 吩。

后来，小库普莱先生于1697年7月，在巴黎皇家天文台这样将他自己的摆钟与太阳的平均运动校准，使得在相当长的时间时钟与太阳的运动相符。然后航行到里斯本，他发现在接下来的11月，时钟走得比以前慢，在24小时相差2′.13″。且在次年的3月，他航行到帕拉伊巴，他发现在那里他自己的时钟走得比在巴黎慢，在24小时相差4′.12″。且他断言按秒振动的摆在里斯本和在帕拉伊巴比在巴黎短 吩和 吩。他应能更正确地把这些差定为 和 。因为这些差与时间的差2′.13″和4′.12″对应。这个人的观测由于粗心而不大可信。

接着的两年（1699和1700年）得海斯先生又航行到美洲，在卡宴岛和格拉纳达岛他确定按秒振动的摆的长度稍小于3呎 吩，在圣克里斯托弗岛那个长度为3呎 吩，且在圣多明各岛同样的长度为3呎7吩。

再者，在1704年，弗莱神父在美洲的波托贝洛发现按秒振动的摆的长度为三巴黎呎仅又 吩，亦即，比在巴黎约短三吩，但此观测有误。因随后他航行到马提尼克岛，发现等时的摆的长度仅为三巴黎呎又 吩。

现在帕拉伊巴的纬度是向南6^gr..38′，且波托贝洛是向北9^gr..33′，又卡宴岛、戈雷岛、瓜德罗普^（50）岛、马提尼克岛、格拉纳达岛、圣克里斯托弗岛和圣多明各岛的纬度分别为向北4^gr..55′、14^gr..40′、14^gr..00′、14^gr..44′、12^gr..6′、17^gr..19′和19^gr..48′。巴黎的摆的长度对等时的摆在这些纬度观测到的长度的超出略大于按照上表中计算出的摆的长度。且所以地球在赤道比上面计算的要高，且往中心比接近表面的矿物更致密，除非也许热带的热使摆的长度有些增加。

的确，皮卡德先生曾观察到，一根铁棒，它在冬季当冰冻时的长度为一呎，在火上加热时它变为1呎又四分之一吩。后来拉伊尔先生观察到，一根铁棒，它在冬季相当的时候长六呎，当暴露于夏天的太阳下时长度成为六呎又三分之二吩。在前一种情形比后一种情形更热，且在后一种情形比人的身体的外表部分更热。因为金属在夏天的太阳下变得很热。但摆钟的摆杆从不暴露于夏天太阳的炎热之下，且从不吸收等于人的身体外表部分的热。且所以，在时钟中三呎长的摆杆，在夏天的确比在冬天略长，但超出几乎不超过一吩的四分之一。因此，在不同区域等时的摆的长度的整个差，不能归之于热的不同。这个差也不能归之于由法兰西派出的天文学家所犯的错误。因为尽管他们的观测彼此不完全相符，但差异如此之小以至能忽略。且对此他们一致同意：等时的摆在赤道比在巴黎皇家天文台短，差不小于一又四分之一吩，不大于 吩。依里奇先生在卡宴所做的观测，此差为一又四分之一吩，依得海斯先生的观测那个差经过修正成为一又二分之一吩或者一又四分之三吩。依其他人所做的较不精确的观测，那个差约为二吩。且这一差异可能部分地来自观测的误差，部分地来自地球内部的不同和山的高度的不同，且部分地来自空气的热度的不同。

据我所知，一根三呎长的铁棒，在英格兰的冬季比在夏季短六分之一吩。由于在赤道的热度，从里奇观测到的一又四分之一吩的差中除去这个量，则剩下 吩，它与前面已由理论推得的 吩非常符合。此外，里奇在卡宴所做的观测，十个月的时间他每周重复，并把在那里标记在铁棒上的摆的长度与在法兰西类似地标记的长度相比较。这种勤奋与细心为其他观测者所缺乏。如果他的观测是可信的，则地球在赤道比在两极高，超出约为十七哩，正如上面由理论所得出的。