命题XIX 问题III

求行星的轴比垂直于它的直径的比例。

1635年前后，我们的同国人诺伍德测得伦敦和约克之间的距离为905751伦敦呎，并观测到［那些地方的］纬度的差为2°28′，他推出一度的长短为367196伦敦呎，亦即，57300巴黎丈。

皮卡德沿子午线测量亚眠和马尔瓦桑之间2度22′.55″的一段弧，发现一度的弧为57060巴黎丈。老卡西尼沿子午线测得从鲁西永的科利乌尔镇到巴黎天文台的距离；且他的儿子加上了从天文台到敦刻尔克城的城堡的距离。总的距离为 丈，科利乌尔镇的和敦刻尔克城的纬度之差为8°又31′. ″。由此得出1°的弧为57061巴黎丈。且由这些测量，在地球为球形的假设下，推得地球的周长为123249600巴黎呎，且它的半直径为19615800呎。

在巴黎的纬度，重物下落一秒钟画出15巴黎呎1吋又 吩，如同上面，亦即 吩。物体的重量由于周围空气的重量而减小。我们假设失去的重量是总重量的一万一千分之一，则那个重物在真空中下落，一秒钟的时间画出2174吩。

一个物体在每个恒星日的23小时56′.4″在离中心的距离为19615800呎的一个圆上均匀地运行，在一秒钟的时间画出1433.36呎的一段弧，其正矢为0.0523656呎，或者7.54064吩。且由此，一个力，由它重物在巴黎的纬度降落，比物体在赤道的离心力，它起源于地球的周日运动，如同2174比7.54064。

物体在地球的赤道的离心力比一个离心力，由它物体在巴黎的纬度48°51′.10″直接地离开地球，按照半径比那纬度的余角的正弦的二次比，亦即，如同7.54064比3.267。这个力加到一个力上，重物由后者在巴黎的那个纬度下降，则物体在那个纬度以总的重力下落，在一秒钟的时间画出2177.267吩，或者15巴黎呎1吋又5.267吩。则在那个纬度，总的重力比物体在地球的赤道的离心力如同2177.267 比7.54064或者289比1。

由此，如果指定APBQ为地球的形状，现在它不再是球而是由一个椭圆围绕较短的轴PQ旋转产生，又设ACQqca为充满水的管道，从极Qq到中心Cc，再由此前进到赤道Aa:则在管道的股ACca 中的水的重量比在管道的另一股QCcq中的水的重量应如同289比288，因为起源于圆形运动的离心力支撑并除去289份重量中的一份，且在另一股中的288份重量支撑余下的重量。然后（根据第I卷命题XCI系理2）进行计算，我发现如果地球由均匀的物质构成，且所有的运动被夺去，则它的轴PQ比直径AB如同100比101:在位置Q朝着地球的重力比在相同的位置Q朝着以中心C半径PC或者QC画出的球的重力，如同126比125。且由同样的论证，在位置A朝着椭圆APBQ围绕轴AB一起旋转画出的扁球的重力，比在相同的位置A朝着以中心C半径AC画出的球的重力，如同125比126。但是在位置A朝着地球的重力是朝着所说的扁球的和球的重力之间的比例中项:因为那个球，当它的直径PQ按照101比100之比减小，它转变为地球的形状；且这个形状按照相同的比减小第三条直径，它与两条直径AB、PQ垂直，转变为所说的扁球；且在A的重力，在任一种情形，很接近地按同一比减小。所以在A朝着以中心C半径AC画出的球的重力，比在A朝着地球的重力如同126比 ，且在位置Q朝着以中心C半径QC所画出的球的重力，比在位置A朝着以中心C半径AC所画出的球的重力，（由第I卷命题LXXII）按照直径的比，亦即，如同100比101。现在，这三个比126比125、126比 和100比101联合起来，则在位置Q朝着地球的重力比在位置A朝着地球的重力，如同126×126×100比125× ×101，或者如同501比500。

如今，因为（由第I卷命题XCI系理3）在管道的任一股ACca或者QCcq中的重力如同位置离地球中心的距离；如果那些股由等距的横截面区分为与整体成比例的部分，在股ACca 中任意数目的部分的重量比在另一股相同数目的部分的重量，如同它们的大小和加速重力的联合；亦即，如同101比100和500比501的联合，这就是，如同505比501。且因此，如果在股ACca中每一部分的起源于周日运动的离心力，它比同一部分的重量如同4比505，使得每一部分的重量被分成505份，四份被它除去；在每个股中重量保持相等，且所以流体处于平衡。但每一部分的离心力比同一部分的重量如同1比289，这就是，离心力，它应为重量的 ，而仅为 。且所以，我说，按照黄金规则（regula aureum），如果重量的 的离心力使水在股ACca中的高度超出水在股QCcq中的高度为其整个高度的百分之一:则重量的 的离心力使水在股ACca中的高度的超出仅为水在另一股QCcq 中的高度的 。所以地球沿着赤道的直径比它的经过两极的直径如同230比229。且因此，因于地球的平均半直径，按照皮卡德的测量，为19615800巴黎呎，或者3923.16哩（假定一哩等于5000呎），地球的赤道比在两极高，超出为85472呎，或者 哩。且在赤道其高度约为19658600呎，在两极约为19573000呎。

如果大于或者小于地球的行星保持其密度和周日旋转的循环时间，则离心力比重力的比被保持，且所以两极之间的直径比沿着赤道的直径的比被保持。且如果周日运动按任意的比被加速或者迟滞，则离心力按那个比的二次方被增大或者减小，且所以直径的差很接近地按同一二次比。再者，如果行星的密度按任意的比增大或者减小，朝向它的重力按相同的比增大或者减小，且直径之间的差按重力增大的比被减小或者按重力减小的比被增大。因此，由于地球相对于恒星以23小时56′旋转，而木星以9小时56′旋转，则时间的平方如同29比5，又旋转物体的密度如同400比 :木星的直径的差比它自己的较短的直径如同 × × 比1，或者很接近地如同1比 。所以，木星的自东向西所引的直径，比它的两极之间的直径很接近地如同 比 。因此，由于它的较长的直径为37″，它的较短的直径，它位于两极之间，为33″.25。由于光的不规则性应加上大约3″，则这颗行星的视直径变成40″和36″.25；它们彼此很接近地如同 比 。这些结果如此出自一个假设：木星本体的密度均匀。但如果它的本体往赤道的平面比往两极致密，其直径彼此之比可能如同12比11，或者13比12，甚至14比13。的确，卡西尼在1691年观测到，木星的自东向西伸展的直径约以其自身的十五分之一超出另一条直径。此外，我们的同国人庞德，用带最好测微仪的123呎长的望远镜，在1719年测得木星的直径如下。

况且，由于我们的地球的周日转动，重力在赤道被减小，且因此地球在那里比在两极更隆起（如果它的物质密度均匀），由在下一命题中叙述的摆的实验，这是显然的。