命题XLVII 定理XXXVII

冲击通过流体传播，流体的每个小部分，以极短的往返运动离开并返回，总按照摆的振动定律被加速或者被迟滞。

指定AB，BC，CD，等等为相继冲击间的相等距离；ABC为冲击运动自A向B传播的地方；E，F，G表示在介质中静止的三个物理点，它们在直线AC上，彼此之间的距离相等；Ee，Ff，Gg是非常短的空间，通过它们那些点在每次颤动的往复运动中离开并返回；ε，φ，γ为那些点的任意中间位置；且EF，FG为物理短线或者位于那些点间的介质的直线部分，并相继被迁移到位置εφ，φγ和ef，fg。引等于直线Ee的直线PS。同一直线被平分于O，且以O为中心，OP为间隔画圆SIPi。这个圆的整个圆周连同其部分表示一次颤动的整个的以及其比例部分的时间；如此使得当任意时间PH或者PHSh结束时，如果向PS落下垂线HL或者hl，并取Eε等于PL或者Pl，物理点E在ε被发现。由这个定律，任意点E，在离开E经ε到e，再由此经e返回到E，以相同程度的加速和迟滞完成每次颤动，如同振动的摆。要证明的是介质的每个物理点必被这种运动推动。所以，我们想象在介质中由任意原因引起的这种运动，让我们看看由此会发生什么。

在圆周PHSh上取相等的弧HI，IK或者hi，ik，它们比整个圆周所具有的比与相等的直线EF，FG比整个冲击的间隔BC所具有的比相同。且落下垂线IM，KN或者im，kn；因为点E，F，G被类似的运动相继推动，且当一次冲击从B迁移到C期间，完成它们的由离开和返回组成的一次完整的颤动；如果PH或者PHSh是点E从运动开始起的时间，PI或者PHSi是点F从运动开始起的时间，PK或者PHSk是点G从运动开始起的时间；且因此在点离开时Eε，Fφ，Gγ分别等于PL，PM，PN，或者在点返回时分别等于Pl，Pm，Pn。所以，εγ或者EG+Gγ-EG当点离开时等于EG-LN，在点返回时等于EG+ln。但εγ是宽度或者在位置εγ的介质的部分EG的扩张；且所以那个部分的扩张在离开时比其平均的扩张如同EG-LN比EG；在返回时如同EG+ln或者EG+LN比EG。因为，由于LN比KH如同IM比半径OP，且KH比EG如同圆周PHShP比BC，亦即，如果设V为周长等于冲击的间隔BC的圆的半径，如同OP比V；且由错比，LN比EG如同IM比V；部分EG的扩张或者物理点F在位置εγ的扩张比平均扩张，它是那个部分在自身的初始位置EG所具有的扩张，在离开时如同V-IM比V，且在返回时如同V+im比V。因此点F在位置εγ的弹性力比它在位置EG时的平均的弹性力，在离开时如同1/（V-IM）比1/V，在返回时如同1/（V+im）比1/V。且由相同的论证，物理点E和G在离开时的弹性力如同1/（V-HL）和1/（V-KN）比1/V；且力之差比介质的平均的弹性力，如同（HL-KN）/（VV-V×HL-V×KN+HL×KN）比1/V。这就是，如同（HL-KN）/（VV）比1/V，或者如同HL-KN比V，只要（由于振动的狭小范围）我们假设HL和KN无限地小于量V。所以，由于量V被给定，力的差如同HL-KN，这就是（由于HL-KN比HK，和OM比OI或者OP成比例，又HK和OP被给定）如同OM；亦即，如果Ff平分于Ω，如同Ωφ。且由同样的论证，物理点ε和γ的弹性力的差，在物理短线εγ返回时如同Ωφ。但是那个差（亦即，点ε的弹性力对点γ的弹性力的超出）是一个力，由它居间的介质的物理短线εγ在离开时被加速且在返回时被迟滞；且所以物理短线εγ的加速力，如同它离颤动的中点Ω的位置的距离。因此时间（由第I卷命题XXXVIII）正确地由弧PI表示；且介质的直线部分εγ按前述定律，亦即，摆的振动的定律运动；所有直线的部分，由它们构成整个介质，是同样的。此即所证。

系理 因此，显然所传播的冲击的数目与颤动物体的颤动数目相同，在其前进中不被增大。因为物理短线εγ，一旦返回其初始位置就静止，不再运动，除非它或者由颤动物体的冲击，或者由那个物体传播的冲击引起一个新的运动。所以，当由颤动物体传播的冲击一停止，它就静止。