命题XXXVII 定理XXIX

一个圆柱，它在一种被压缩的，无限的且非弹性的流体中沿自身长度的方向均匀地前进；阻力，它起源于［圆柱的］横截部分的大小，比一个力，由它圆柱的整个运动在画出四倍其长度期间能被除去或者生成，非常接近地如同介质的密度比圆柱的密度。

因为如果容器ABDC的底CD与蓄积着的水的表面接触，且水从这个容器中经与地平线垂直的圆柱形管道EFTS流入蓄积着的水中，且小圆PQ被放置在管道中央任何平行于地平线的地方，又延长CA至K，使得AK比CK按照管道的开口EF对小圆PQ的超出比圆AB的二次比：显然（由命题XXXVI的情形5，情形6以及系理1）水从小圆和容器的壁之间的环形空间穿过的速度是水下落且在其下落中画出高度KC或者IG能获得的速度。

且（由命题XXXVI系理10）如果容器的宽成为无限，使短线HI消失且高度IG、HG相等；水向下流在小圆上的力比其底为那个小圆且高为 IG的一个水圆柱的重量，近似地如同EF_q比EF_q- PQ_q。因为以均匀的运动通过整个管道流下的水的力，与在放置在管道中任意部分的小圆PQ上的力相同。

现在封闭管道的开口EF、ST，且在各个方向受到压迫的小圆上升，在其上升中它迫使上方的水通过小圆和管道的壁之间的环形空间下落：则小圆上升的速度比水下降的速度如同圆EF和PQ的差比圆PQ，则小圆上升的速度比速度的和，这就是，比水下降的相对速度，以它水流过上升的小圆，如同圆EF和PQ的差比圆EF， 或者如同EF_q-PQ_q比EF_q。设那个相对速度等于一个速度，由上面的证明，以这个速度水在穿过同样的环形空间期间，小圆保持不动，亦即，等于水下落且在其下落中画出高度IG能获得的速度；则水的力对小圆上升与前面一样（由诸定律的系理V），亦即，上升的小圆的阻力比其底为那个小圆且高为 IG的一个水圆柱的重量，很接近地如同EF_q比EF_q- PQ_q。但是小圆的速度比一个速度，水下落且在其下落中画出高度IG得到它，如同EF_q-PQ_q比EF_q。

设管道的宽度被增加以至无穷，那些EF_q-PQ_q和EF_q以及EF_q和EF_q- PQ_q之间的比最终成为等量之比。且所以小圆的速度现在是水下落且在其下落中画出高度IG能获得的速度，它的阻力变成等于其底是那个小圆且高度为高度IG的一半的一个水圆柱的重量，从那里圆柱应下落以获得上升的小圆的速度；且圆柱以这个速度，在下落的时间，画出四倍其自身的长度。但以这个速度沿其自身长度的方向前进的圆柱的阻力，（由引理IV）与小圆的阻力相同，且因此很接近地等于一个力，由它在圆柱画出四倍其自身长度期间，能生成其运动。

如果圆柱的长度被增加或者减小，它的运动以及时间，在此期间它画出四倍其自身的长度，按照相同的比被增加或者减小；且因此那个力，由它运动增加或者减小，在按相同的比例增大或者减小的时间能被生成或者被除去，不被改变；且因此仍等于圆柱的阻力，因为由引理IV这也保持不变。

如果圆柱的密度被增大或者减小：它的运动以及力，由这个力运动能在相同的时间被生成或者除去，按照相同的比被增大或者减小。所以，任意一个圆柱的阻力比一个力，由它在圆柱画出四倍其自身长度期间其整个运动能被生成或者除去，很接近地如同介质的密度比圆柱的密度。此即所证。

一种流体应被压缩以致成为连续的，它应是连续的且非弹性的，使得所有来源于它的压缩的压力被瞬时地传播，且相等地作用在运动物体的所有部分，阻力不改变。的确，起源于物体的运动的压力，它被用来产生流体的部分的运动，且这产生阻力。但压力，它起源于流体的压缩，无论它多么强，如果被瞬时地传播，它不在连续流体的部分产生运动，对所有的运动不引起改变；且因此既不增大也不减小阻力。无疑流体的作用，它起源于流体的压缩，对于运动物体的尾部不会强于其头部，因此在这一命题中所描述的阻力不会被减小；且对头部的作用不会强于尾部，只要其传播比被压迫的物体的运动无限地迅速。作用无限地迅速且被瞬时地传播，只要流体是连续的且非弹性的。

系理1 圆柱，它们在无限的连续的介质中沿自身的长度［的方向］均匀地前进，阻力按照一个比，它由来自速度的二次比和直径的二次比以及介质的密度之比的复合而成。

系理2 如果管道的宽度不被以至无穷地增加，但圆柱在被密闭的静止介质中沿自身的长度［的方向］均匀地前进，且在此期间它的轴与管道的轴重合：圆柱的阻力比一个力，由它其整个运动能在圆柱画出四倍其长度期间被生成或者除去，按照一个比，它由来自EF_q比EF_q- PQ_q的一次比和EF_q比EF_q-PQ_q的二次比以及介质的密度比圆柱的密度之比复合而成。

系理3 对同样的假设，又长度L比圆柱长度的四倍按照一个比，它由来自EF_q比EP_q- PQ_q的一次比和EF_q比EF_q-PQ_q的二次比复合而成；则圆柱的阻力比一个力，由它在圆柱画出长度L期间能除去或者生成其整个运动，如同介质的密度比圆柱的密度。

在这个命题中我们研究的阻力，它只起源于圆柱的横截部分的大小，忽略了可能起源于运动的倾斜的那部分的阻力。因为正如在命题XXXVI的情形1中，运动的倾斜，容器中的水以它从各个方向汇聚于孔EF，阻碍那些水从孔中流出；同样，在这个命题中，运动的倾斜，水的部分以它受到圆柱前端的压迫，它们退离压力且向各个方向扩散，迟滞它们通过圆柱的前端周围的地方向圆柱末端的迁移，使流体移动一个更大的距离且阻力被增大，且几乎按照一个比，由它从容器中流出的水被减小，亦即近似地按照25比21的二次比。同样，在那个命题的第一种情形中，通过假设在容器中所有围绕瀑布的水被冻结，且其运动为倾斜又无用的水的部分保持不运动，我们使水的部分垂直且极充满地通过孔EF；因此在这个命题中，为能除去运动的倾斜，且水的部分通过以最直接和最快速的退离，能给圆柱最便于移动的通道，使得只起源于横截部分的大小的阻力被保持，且它不能被减小，除非减小圆柱的直径。必须这样想象流体的部分，它们的运动是倾斜的，无用的且产生阻力，它们在圆柱的两端彼此静止，且依附并连结在圆柱上。设ABCD为一个矩形，且AE和BE为以轴AB和一条通径画出的两条抛物线弧，此通径比空间HG，它被下落的圆柱在获得其速度期间画出，如同HG比 AB。又设CF和DF为另两条抛物线弧，它们以轴CD和一条通径画出，它是前一条通径的四倍；且图形围绕轴EF旋转生成一个立体，其中间的部分ABDC是我们正处理的圆柱，又顶端部分ABE和CDF所包含的流体的部分彼此静止且凝结成两个刚性物体，附着在圆柱的两端犹如头和尾。则沿其轴FE的长度［的方向］向着E前进的固体EACFDB的阻力很接近我们在这个命题中所描述的，亦即，它比一个力，由这个力在圆柱以那个均匀连续的运动画出长度4AC期间，圆柱的整个运动或者能被除去或者能被生成，所具有的比与流体的密度比圆柱的密度所具有的比非常接近。且由命题XXXVI系理7，阻力比这个力不可能按照小于2比3的比。