命题XXXVI 问题VIII

确定从圆柱形容器底部开的一个孔中流出的水的运动。

设ACDB 为一个圆柱形容器，AB为其上方的开口，底CD平行于地平线，EF为在底中间的圆孔，G为孔的中心，且圆柱的轴GH垂直于地平线。再想象一冰柱APQB，它与容器的腔有相同的宽度，且有相同的轴，又以均匀的运动持续下降，它的部分一接触到表面AB就化成液体，当它们化成水由其重力流入容器，且在它们的下降中形成瀑布或者水柱ABNFEM，再从孔EF中穿过，并恰好充满它。设冰下降的和在圆AB附近的水的均匀的速度是水下落且由下落画出高度IH所能获得的速度；又IH，HG位于一条直线上，且过点I引直线KL平行于地平线交冰的边缘于K和L。则水从孔EF流出的速度等于水自I下落且由下落画出高度IG所能获得的速度。且因此由伽利略的定理，IG比IH按照从孔流出的水的速度比水在圆AB的速度的二次比，这就是，按照圆AB比圆EF的二次比；因为这些圆与通过它们的水的速度成反比，水在相同的时间以相等的量恰好通过它们。这里所考虑的水的速度朝向地平线。而平行于地平线的运动，由它下落的水的部分彼此靠近，由于它不起源于重力，亦于改变起源于重力的垂直于地平线的运动，这里没有加以考虑。确实我们假设水的部分略有凝结，且由于其凝结在它们下落时由平行于地平线的运动而彼此靠近，使得它们只形成一个瀑布而不被分成几个瀑布，但起源于那种凝结的平行于地平线的运动，这里我们没有考虑。

情形1 现在想象整个容器的腔内包围下落的水ABNFEM，充满冰，使水通过冰如通过一个漏斗。且如果水与冰几乎不接触，或者，这是一回事，如果水接触冰且由于冰极光滑，水很自由且全然没有阻力地滑过它；水以与以前同样的速度从孔EF流出，且水柱ABNFEM的整个重量用于产生如同以前的向下流体，再者容器的底承受环绕的冰柱的重量。

现在在容器中的冰溶化；则水流出的速度保持与以前一样。它不小于以前，因为冰化成的水努力下落；它不大于以前，因为冰化成的水不能下落，除非对其他下落的水的阻碍等于其自身的下落。同样的力在流出的水中应产生同样的速度。

但是在容器的底部的孔，因为水的小部分在流出时的倾斜运动，［水流的速度］应稍大于以前。因为现在水的小部分不都垂直从孔通过；而且从容器侧面各处汇流并聚积于孔，以倾斜的运动通过；其路径向下弯折，它们汇合为一水流，在孔的下方较在孔中稍细，它的直径比孔的直径近似地如同5比6或者 比 ，只要我对直径的测量无误。我设法得到在中间穿孔的一块很薄的平板，圆孔的直径为八分之五吋。且流出的水流在下落中不会被加速并由于加速度变细，我将这块板安在容器的侧面而不是底部，使得水流沿平行于地平线的直线流出。然后，当容器中充满水时，我打开孔使水流出；且水流的直径，在离孔二分之一吋的距离，尽可能准确地测量，得出为四十分之二十一吋。所以此圆孔的直径比水流的直径，很近似地如同25比21。所以水流过孔，从各个方向会聚，且流出容器之后，由于会聚而变细，且由于变细而被加速直到离孔半吋远，且在那个距离按照25×25比21×21或者近似地17比12，亦即约略按照二比一的二分之一次比较水流在孔中时细小和快速。由实验证实在给定的时间通过在容器底部的圆孔流出的水量，是以上面所说的速度，不是通过那个孔，而是通过一个圆孔，其直径比那个孔的直径如同21比25，在相同的时间应流出的水量。且因此这些水通过孔向下流出的速度差不多等于一个重物在下落时通过容器中蓄积着的水的高度的一半时能获得的速度。但水在流出容器后，它由于会聚而被加速，直到它前进到离孔几乎等于孔的直径的一个距离，获得一个速度，它约按照二比一的二分之一次比大于水流出孔的速度；这个速度很接近一个重物下落，且其下落画出在容器中蓄积着的水的高度时能获得的速度。

所以，此后水流的直径由我们称为EF的较小的孔表示。再想象在约等于孔的直径的距离处引另一较高的平面VW平行于孔EF的平面且穿一较大的孔ST；通过它下落的水流正好充满下方的孔EF，因此它的直径比下方的孔的直径大约如同25比21，由此水流垂直通过下方的孔；且流出的水量，按照这个孔的大小，很接近要求的问题的解。两个平面包围的空间和下落的水流，可以被认为是容器的底部，但为了使问题的解更简单和更数学化，只应用下面的一个平面代替容器的底更好，再想象水从冰上流下好像从漏斗流下，且通过在下方平面的孔EF流出容器，保持其持续的运动，且冰保持静止。所以接下来以Z为中心画出直径为ST的圆孔，当在容器中的所有水为流体时，瀑布通过孔流出容器。且设EF为孔的直径，下落的瀑布恰好穿过它，无论流出容器的水通过上方的孔，或者从在容器中的冰中间落下如同通过漏斗。且设上方孔的直径比下方孔的直径近似地如同25比21，又孔的平面之间的垂直距离等于较小的孔的直径EF。则水从容器中通过孔ST流出，在该孔向下的速度是一个物体从高度IZ的一半下落能获得的速度；两个下落的瀑布在孔EF的速度，是一个物体从整个高度IG下落获得的速度。

情形2 如果孔EF不在容器的底的中央，而开在别处；水以与前面相同的速度流出，只要孔的大小相同。因为重物经过倾斜的线比经过垂直的线下降到同样的深度所用的时间要长；但在两种情形中获得相同的下降速度，正如伽利略所证明的。

情形3 水从在容器的侧面上的孔流出的速度是相同的。因为如果孔细小，使得而AB和KL之间的间隔在感觉上消失，且水平地涌出的水流形成抛物线的图形。从这个抛物线的通径能推出，水流出的速度是一个物体在容器中蓄积着的水的高度HG或者IG下落能获得的速度。因为通过所做的一个实验，我发现如果蓄积着的水高于孔的高度为二十吋，且孔高于平行于水平面的高度也是二十吋，涌出的水流落在那个平面上，距离从孔向那个平面落下的垂线计，大约为37吋。因为在没有阻力时水流应以40吋的一个距离落在那个平面上，抛物线形水流的通径是80吋。

情形4 而且流出的水如果向上，它以相同的速度离开。因涌出的细的水流以其垂直运动上升到在容器中蓄积着的水的高度GH或者GI，除了其上升由于空气的阻力而略微受阻；且因此它以从那个高度下落能获得的速度流出。蓄积着的水的每个小部分从各个方向所受的压迫相等（由卷II命题XIX），且以相等的力退离压力被携带到各个方向，无论它通过在容器的底部的孔下降，或者通过其侧面的孔水平地流出，或者进入一管道中并由此从在管道上面的部分所开的细孔射出。且速度，水以此速度流出，是我们在本命题中所定出的，这不仅被推理导出，且由已描述的人所悉知的实验，这也是显然的。

情形5 无论孔是圆形，正方形或者三角形，或者任意［面积］等于圆形的图形，水流出的速度相同。因为水流出的速度与孔的形状无关，而由它低于平面KL的高度引起。

情形6 如果容器ABDC的靠下的部分浸没在蓄积着的水中，且蓄积着的水高出容器的底的高度为GR：容器中的水通过孔EF流入蓄积着的水中的速度，是水下落且在其下落中画出高度IR所能获得的速度。因为在容器中低于蓄积着的水的表面的所有水的重量，由于蓄积着的水的承受而平衡，且因此一点也不加速容器中水的下降运动。这种情形亦可通过测量水流出的时间由实验揭示。

系理1 因此，如果水的高度CA延伸至K，使得AK比CK按照在底的任意部分所开的孔的面积比圆AB的面积的二次比：水流出的速度等于一个速度，它能由水下落且在其下落中画出高度KC获得。

系理2 且力，由它能生成涌出的水的所有运动，等于一个圆柱形水柱的重量，它的底是孔EF，且高为2GI或者2CK。因为涌出的水，在流出等于这个圆柱的时间，以其自身的重量自高度GI下落所能获得的速度涌出。

系理3 在容器ABDC中所有水的总重量比一个部分的重量，它被用于水向下流出，如同圆AB和EF的和比二倍的圆EF。因为设IO是IH和IG之间的比例中项；且由孔EF流出的水，在水滴自I下落能画出高度IG的时间，等于其底为圆EF且高为2IG的一个圆柱，亦即，等于其底为AB且其高是为2IO的一个圆柱，因为圆EF比圆AB按照高度IH比高度IG的二分之一次比，这就是，按照比例中项IO比高度IG的简单比；且在水滴自I下落能画出高度IH的一段时间，流出的水等于其底为AB且高为2IH一个圆柱；且自I下落的一水滴经H到G画出高度的差HG的一段时间，流出的水，亦即，在立体ABNFEM中所有的水，等于圆柱的差，亦即，等于其底为AB且高为2HO的一个圆柱。且所以在容器ABDC中所有的水比在立体ABNFEM中所有下落的水如同HG比2HO，亦即，如同HO+OG比2HO，或者IH+IO比2IH。但是在立体ABNFEM中所有水的重量用于水流下，且因此在容器中所有水的重量比一个部分的重量，它被用于水流下：如同IH+IO比2IH，且因此如同圆EF和AB的和比二倍的圆EF。

系理4 且因此在容器ABDC中所有水的重量比另外一个部分的重量，它由容器的底承受，如同圆AB和EF的和比这些圆的差。

系理5 且一个部分的重量，它由容器的底承受，比另外一个部分的重量，它被用于水流下，如同圆AB和EF的差比二倍的较小的圆EF，或者如同底的面积比二倍的孔的面积。

系理6 但一个部分的重量，它只压迫底，比所有水的重量，它垂直压在底上，如同圆AB比圆AB和EF的和，或者如同圆AB比圆AB的二倍对底的超出。因为由系理4，部分的重量，它只压迫底，比在容器中所有水的重量，如同圆AB和EF的差比这些圆的和；且在容器中所有水的重量比垂直压在底上的所有水的重量，如同圆AB比圆AB和EF的差。所以，由错比，部分的重量，它只压迫底，比所有水的重量，它垂直压在底上，如同圆AB比圆AB和EF的和或者圆AB的二倍对底的超出。

系理7 如果在孔EF的中央放置一个以中心G画出的小圆PQ，且它与地平线平行：水的重量，它由那个小圆PQ承受，大于其底是那个小圆且高为GH的一个水圆柱的三分之一的重量。因为设ABNFEM为瀑布或者下落的水柱它具有如上的轴GH，并想象冻结在容器中围绕瀑布的和小圆上面的所有水，其流动性对于水的即刻和非常迅速的下落是不需要的。且设PHQ为小圆之上冻结的水柱，它具有顶点H和高GH。又想象这个瀑布以其全部重量下落，既不靠在PHQ上又不压迫它，而自由且无摩擦地滑过它；也许除了在冰的顶点，那里在瀑布刚开始下落时，是凹的。且由于环绕瀑布的水AMEC，BNFD冻结，相对于下落的瀑布的内表面AME，BNF是凸的，如此这个柱PHQ对瀑布的面也是凸的，且所以大于其底为那个小圆PQ且高为GH的一个圆锥，亦即，大于所描述的同底同高的圆柱的三分之一。但那个小圆承受了这个柱的重量，亦即，大于圆锥或者三分之一那个圆柱的一个重量。

系理8 水的重量，它由很小的圆PQ承受，似乎小于其底是那个小圆且高为HG的一个水圆柱的三分之二。因为保持以上的假设，想象画出一个其底为那个小圆且半轴或者高为HG的半扁球。则这个图形等于那个圆柱的三分之二且包含其重量由那个小圆承受的冻结的水柱PHQ。因为为了使水的运动最大地陡直，那个柱的外表面与底PQ交于一个稍微尖锐的角，因为水在下落中持续被加速，且因为加速度使柱变细；又由于那个角小于直角，这个柱的下面部分位于半扁球内。它在上面部分也是尖锐的，因为否则水在扁球的顶的水平运动较其向地平线的运动无限地迅速。且小圆PQ愈小，柱的顶愈尖锐；又小圆减小以至无穷，则角PHQ被减小以至无穷，且所以柱位于半扁球内。所以，那个柱小于半扁球，或者其底为那个小圆且高为GH的一个圆柱的三分之二。此外，小圆承受水的力等于这个柱的重量，因为周围水的重量被用于［水］向下流。

系理9 水的重量，它由很小的圆PQ承受，近似地等于其底为那个小圆且高为 GH的一个水圆柱的重量。因为这个重量是前述圆锥和半扁球的重量之间的算术平均。但是，如果那个小圆不是特别的小，而被增大直至它等于孔EF；它承受垂直落在其上的所有水的重量，亦即，其底为那个小圆且高为GH的一个水圆柱的重量。

系理10 且（就我所知）重量，它由小圆承受，比其底为那个小圆且高为 GH的一个水圆柱的重量，总很接近地如同EF_q比EF_q- PQ_q，或者如出圆EF比这个圆对小圆PQ的一半的超出。