命题XXXV 问题VII

如果一种稀薄的介质由小部分构成，它们极小，静止，相等且彼此等距地放置，需求在此介质中均匀前进的一个球所遇到的阻力。

情形1 设想在相同的介质中，一个以相同的直径和高度所画的圆柱以相同的速度沿自身的轴的长度［的方向］前进。且我们假设介质的小部分，它们与球或者圆柱相碰，以最大可能的反射力弹回。又由于球的阻力（由上一命题）是圆柱的阻力的一半，且球比圆柱如同二比三，再者垂直碰到圆柱的小部分，被最大可能地反射，传送它自身速度的二倍给它们。因此，圆柱在均匀前进中画出其轴的长度的一半的时间，传送给小部分的运动比圆柱的整个运动，如同介质的密度比圆柱的密度；且球，在均匀前进中画出其整个直径的时间，传送相同的运动给小部分；又在画出其直径的三分之二的时间，传送给小部分的运动比球的整个运动，如同介质的密度比球的密度。且所以，球遇到的阻力比一个力，由它球的整个运动在球均匀前进中画出其直径的三分之二的时间能被除去或者生成，如同介质的密度比球的密度。

情形2 我们假设介质的小部分与球或者圆柱相碰而不被反射；则圆柱向与它垂直相碰的小部分，传递其单纯的速度给它们，且因此所遇到的阻力是前一种情形的一半；又球的阻力也是前一种情形的一半。

情形3 我们假设介质的小部分从球弹回的反射力既不是最大又不是零，而是某个平均的力，则球的阻力按照第一种情形的阻力和在第二种情形的阻力之间的同一个平均比。此即所求。

系理1 因此，如果球和小部分无限坚硬，所有弹性力被隔绝，且因此所有反射力也被隔绝：球的阻力比一个力，由它在球画出其直径的三分之四的时间能除去或者生成它的整个运动，如同介质的密度比球的密度。

系理2 球的阻力，其他情况相同，按照速度的二次比。

系理3 球的阻力，其他情况相同，按照直径的二次比。

系理4 球的阻力，其他情况相同，如同介质的密度。

系理5 球的阻力按照一个比，它由来自速度的二次比和直径的二次比，以及介质的密度之比复合而成。

系理6 且球的运动以及它的阻力的能如此表示。设AB为时间，在此期间由于球的阻力的均匀持续能使球失去其全部运动。竖立AD，BC垂直于AB。且设BC为整个运动，再过点C，以AD，AB为渐近线画双曲线CF。延长AB至任意点E。竖立垂线EF交双曲线于F。补足平行四边形CBEG，并引AF与BC交于H。则如果球在任意时间BE，它的初始的运动BC均匀地持续，在无阻力介质中画出的空间CBEG由平行四边形的面积表示，同一物体在阻力介质中画出的空间CBEF由双曲线的面积表示，则其运动在那段时间结束时由双曲线的纵标线EF表示，其运动失去的部分由FG表示。且在同一时间结束时其阻力由长度BH表示，阻力失去的部分由CH表示。所有这些由第II卷命题V系理1和系理3是明显的。

系理7 因此，如果球在时间T由于均匀地持续的阻力R失去其全部运动M：同一个球在有阻力的介质中经时间t，在那里阻力R按照速度的二次比减小，失去其运动M的（tM）/（T+t）份，剩下（TM）/（T+t）份；且球所画出的空间比由均匀的运动M在相同的时间t所画出的空间，如同数（T+t）/T的对数^（38）（logarithmus）乘以数2.302585092994比数tT，因为双曲线BCFE的面积比矩形BCGE按照这个比。

在此命题中我已展示了球形抛射体在不连续的介质（medium non continuum）中的阻力和迟滞，且我显示这个阻力比一个力，由它球在以均匀持续的速度画出其直径的三分之二的时间能除去或者生成球的整个运动，如同介质的密度比球的密度，只要球和介质的小部分是高度弹性的且具有最大的反射力；但这个力，在球和介质的小部分无限坚硬且隔绝任何反射力时，减小一半。此外，在连续的介质中，如水，热油，以及水银中，在其中球不与流体所有产生阻力的小部分相碰，而只压迫最靠的小部分，且这些小部分压迫其他的小部分，它们又压迫其他的小部分，如此下去，在这种介质中阻力减小一半。球在这种极端的流体介质中遇到的阻力比一个力，由它球在以那个均匀持续的运动画出其直径的三分之八的时间能除去或者生成其整个运动，如同介质的密度比球的密度。这正是后面我们要努力表明的。