命题XXX 定理XXIV

如果直线aB等于由振动物体所画出的旋轮线的弧，且向它的每个点D竖立垂线DK，它比摆的长度如同在弧上对应点的物体的阻力比重力：我说，整个下降所画出的弧与随后整个上升所画出的弧之间的差，乘以那些弧的和的一半，等于由所有垂线DK所占据的面积BKa。

由于一次完整振动画出的旋轮线的弧由那条等于它的直线aB表示，且在真空中画出的弧由长度AB表示。AB在C被平分，且点C表示旋轮线的最低点，又CD如同来源于重力的力，由它在D的物体沿旋轮线的切线被推动，且它比摆的长度所具有的比正如在D的力比重力所具有的比。所以那个力可由长度CD表示，且重力由摆的长度表示，再者，如果在DE上按照DK比摆的长度正如阻力比重力所具有的比取DK，则DK表示阻力。以C为中心，以及CA或者CB为间隔作半圆BEeA。此外，设物体在极短时间画出空间Dd，并竖立垂线DE，de交圆周于E和e，这些垂线如同物体在真空中自点B下降，在位置D和d获得的速度。（由第I卷命题LII）这是显然的。于是这些速度由那些垂线DE，de表示；又设DF是［物体］在阻力介质中自B下落在D获得的速度。且如果以中心C和间隔CF画圆FfM交直线de和AB于f和M，则M为此后没有进一步的阻力时［物体］上升到的位置，且df为它在d获得的速度。因此，如果Fg指明速度的瞬，物体D画出极短的空间Dd，由于介质的阻力而失去它；又取CN等于Cg：则N为此后没有进一步的阻力物体上升到的位置，且MN为上升的减量，它来源于那个速度的失去。往df上落下垂直线Fm，则由阻力DK生成的速度DF的减量Fg，比由力CD生成的同一速度的减量fm，如同生成力DK比生成力CD。但是，又由于三角形Fmf，Fhg，FDC相似，fm比Fm或者Dd如同CD比DF；又由错比，Fg比Dd如同DK比DF。同样，Fh比Fg如同DF比CF；再由并比，Fh或者MN比Dd如同DK比CF或者CM；且因此所有MN×CM的和等于所有Dd×DK的和。往动点M竖立成直角且总等于不定量CM的纵标线，它在连续运动中走过总的长度Aa；由那个运动画出的四边形或与它相等的矩形Aa× aB，等于所有MN×CM的和，且因此等于所有Dd×DK的和，亦即，等于面积BKVTa。此即所证。

系理 因此从阻力的定律和弧Ca，CB的差Aa，能很接近地推知阻力比重力之比。

因为如果阻力DK是均匀的，图形BKTa是Ba和DK之下的矩形；且因此 Ba和Aa之下的矩形等于Ba和DK之下的矩形，则DK等于 Aa。所以，由于DK表示阻力，且摆的长度表示重力，阻力比重力如同 Aa比摆的长度；所有这些正如在命题XXVIII中所证明的。

如果阻力如同速度，图形BKTa很接近一个［半］椭圆。因为如果物体在没有阻力的介质中，一次完整的振动画出长度BA，在任意位置D的速度如同以直径AB所画的圆的纵标线DE。因此，由于Ba在阻力介质中，且BA在无阻力介质中，在近于相等的时间被画出；且因此在Ba上每个点的速度，比在长度BA上对应点的速度，很接近地如同Ba比BA；在阻力介质中在点D的速度很接近地如同画在直径Ba上的圆的或者椭圆的纵标线；且因此图形BKVTa很接近一个［半］椭圆。由于阻力被假设为与速度成比例，设OV表示在中点O的介质阻力；又以中心O，半轴OB，OV画［半］椭圆BRVSa，它与等于矩形Aa×BO的图形BKVTa，很接近地相等。所以Aa×BO比OV×BO如同这个椭圆的面积比OV×BO，亦即，Aa比OV如同半圆的面积比半径的正方形，或者近似地如同11比7；且因此 Aa比摆的长度如同振动物体在O的阻力比其重力。

但是，如果阻力DK按照速度的二次比，图形BKVTa几乎是一个顶点为V且轴为OV的抛物线，且因此很接近地等于 Ba和OV之下的矩形。所以 Ba和Aa之下的矩形等于 Ba和OV之下的矩形，且因此OV等于 Aa；于是振动物体在O的阻力比它的重力如同 Aa比摆的长度。

且我认为这些结论对实用目的已足够精确。因为，由于椭圆或者抛物线BRVSa与图形BKVTa在中点V相合，如果在BRV或者VSa的一边大于那个图形，在另一边要小于它，且因此很接近地等于它。