命题XXIX 问题VI

假设一个物体在旋轮线上振动，所受的阻碍按照速度的二次比：需求它在各个位置的阻力。

设Ba为一次完整振动画出的弧，且C为旋轮线的最低点，又CZ是整个旋轮线弧的一半，它等于摆的长度；且需求物体在任意位置D的阻力。无穷直线OQ被截于点O，S，P，Q，使得（如果竖立垂线OK，ST，PI，QE，且以O为中心，OK，OQ为渐近线画双曲线TIGE截垂线ST，PI，QE于T，I和E，再过点I引KF平行于渐近线OQ交渐近线OK于K，且交垂线ST和QE于L和F）双曲线的面积PIEQ比双曲线的面积PITS如同物体下降画出的弧BC比上升画出的弧Ca，且面积IEF比面积ILT如同OQ比OS。然后被垂线MN割下的双曲线的面积PINM，它比双曲线的面积PIEQ如同弧CZ比下降画出的弧BC。且如果被垂线RG割下的双曲线的面积PIGR，它比面积PIEQ如同任意的弧CD比下降画出的整个弧BC；则在位置D的阻力比重力，如同面积[（OR）/（OQ）]IEF-IGH比面积PINM。

因为，由于来源于重力的力，由它物体在位置Z，B，D，a被推动，如同弧CZ，CB，CD，Ca，且那些弧如同面积PINM，PIEQ，PIGR，PITS；不仅弧而且力分别由这些面积表示。此外，设Dd为物体在下降时画出的极小的一个空间，且它由平行线RG，rg围成的极小的面积RGgr表示；又延长rg至h，使得GHhg和RGgr同时为面积IGH，PIGR的减量。则面积[（OR）/（OQ）]IEF-IGH的增量GHhg-[（Rr）/（OQ）]IEF，或者Rr×HG-[（Rr）/（OQ）]IEF，比面积PIGR的减量RGgr，或者Rr×RG，如同HG-[（IEF）/（OQ）]比RG；且因此如同OR×HG-[（OR）/（OQ）]IEF比OR×GR或者OP×PI，这就是（由于OR×HG，OR×HR-OR×GR，ORHK-OPIK，PIHR和PIGR+IGH相等）如同PIGR+IGH-[（OR）/（OQ）]IEF比OPIK。所以，如果面积[（OR）/（OQ）]IEF-IGH被称为Y，且如果面积PIGR的减量RGgr被给定，面积Y的增量如同PIGR-Y。

如果V指定来源于重力的力，它与将要被画出的弧CD成比例，由它物体在D被推动，且阻力被设为R；总的力为V-R，由它物体在D被推动。且由此速度的增量如同V-R和在其间增量生成的那个时间的小部分的联合。但是速度自身与同时被划出的空间的增量成正比且与相同的时间的小部分成反比。因此，由于由假设阻力如同速度的平方，阻力的增量（由引理II）如同速度和速度的增量的联合，亦即，如同空间的瞬和V-R的联合；于是，如果空间的瞬被给定，如同V-R；亦即，如果把力V写作其表示PIGR，且阻力用另外某个面积Z表示，如同PIGR-Z。

所以面积PIGR通过减去给定的瞬而均匀地减小，面积Y按照PIGR－Y之比增加，且面积Z按照PIGR-Z之比增加。且所以，如果面积Y和Z同时开始且在开始时相等，它们通过加上相等的瞬继续相等，且同样减去相等的瞬继续相等并同时消失。且反之，如果它们同时开始且同时消失，它们会有相等的瞬且总是相等；如此情形是由于如果阻力Z被增加，速度与那个弧Ca，它在物体上升时被画出，一起减小；且在靠近点C的点，整个运动与阻力一起停止，阻力消失得较面积Y更为迅速。且当阻力被减小时，得出相反的结果。

现在面积Z当阻力为零时开始并结束，这就是，当弧CD等于弧CB且直线RG遇到直线QE时运动开始，且当弧CD等于弧Ca且RG遇到直线ST时运动结束。又面积Y或者[（OR）/（OQ）]IEF-IGH当阻力为零时，且因此当[（OR）/（OQ）]IEF和IGH相等时开始和结束：这就是（由作图）当直线RG相继遇到直线QE和ST时。且所以那些面积同时开始并同时消失，又由此它们总相等。所以面积[（OR）/（OQ）]IEF-IGH等于面积Z，阻力由Z表示，且所以比表示重力的面积PINM，如同阻力比重力。此即所证。

系理1 所以，在最低位置C的阻力比重力，如同面积（OP）/（OQ）IEF比面积PINM。

系理2 它［阻力］当面积PIHR比面积IEF如同OR比OQ时，成为最大。因为在那一情形，它的瞬（即PIGR-Y）为零。

系理3 因此在每个位置的速度也可以知道：实际上它按照阻力的二分之一次比，且在运动开始时等于在相同的旋轮线上无阻力振动物体的速度。

但由于由这一命题发现阻力和速度在计算上的困难性，附加如下命题是适宜的。