命题XXII 定理XVII

设某一流体的密度与压力成比例，且它的部分被与离中心的距离的平方成反比的重力向下牵引：我说，如果距离被取作一音乐级数^（35）（progressio musica），在这些距离上的流体的密度成一几何级数。

指定S为中心，且距离SA，SB，SC，SD，SE成一几何级数。竖立垂线AH，BI，CK，等等，它们如同在位置A，B，C，D，E，等等上的流体的密度，则在相同位置的比重是（AH）/（SA_q），（BI）/（SB_q），（CK）/（SC_q），等等。假设这些重力，首先从A到B，其次从B到C，再次从C到D，等等，均匀地持续。且这些［比重］乘以高度AB，BC，CD，DE，等等，或者同样，乘以距离SA，SB，SC，等等，它们与那些高度成比例，得到压力的表示（AH）/（SA），（BI）/（SB），（CK）/（SC），等等。所以，由于密度如同这些压力的和，密度的差AH-BI，BI-CK，等等，如同和的差（AH）/（SA_q），（BI）/（SB_q），（CK）/（SC_q），等等。以S为中心，SA，Sx为渐近线画任意双曲线，它截垂线AH，BI，CK，等等于a，b，c，等等，又截向渐近线Sx落下的垂线Ht，Iu，Kw于h，i，k；且密度的差tu，uw，等等，如同（AH）/（SA），（BI）/（SB），等等。又矩形tu×th，uw×ui，等等，或者［矩形］tp，uq，等等，如同（AH×th）/（SA），（BI×ui）/（SB），等等，亦即，如同Aa，Bb，等等。因为，由双曲线的性质，SA比AH或者St，如同th比Aa，且因此（AH×th）/（SA）等于Aa。再由类似的论证（BI×ui）/（SB）等于Bb，等等。但是Aa，Bb，Cc，等等，成连比，且所以与它们的差Aa-Bb，Bb-Cc，等等，成比例；且因此矩形tp，uq，等等，与这些差成比例，又矩形的和tp+uq或者tp+uq+wr与差的和Aa-Cc或者Aa-Dd成比例。令此类项如此之多，则所有差的和，设为Aa-Ff，与所有矩形的和，设为zthn，成比例。增加项的数目并减小点A，B，C，等等的距离以至无穷，则那些矩形变成等于双曲线的面积zthn，且因此差Aa-Ff与这块面积成比例。现在取任意距离，设SA，SD，SF成一音乐级数，则差Aa-Dd，Dd-Ff相等；且所以与这些差成比例的面积thlx，xlnz彼此相等，又距离St，Sx，Sz，亦即，AH，DL，FN，成连比。此即所证。

系理 因此，如果流体的任意两个密度被给定，置为AH和BI，则它们的差tu对应的面积thiu将被给定；且因此在任意高度SF的密度FN通过取面积thnz比那个给定的面积thiu如同差Aa-Ff比Aa-Bb而被发现。

由类似的论证可以证明，如果流体的小部分的重力按照小部分离中心的距离的三次比减小，且距离SA，SB，SC，等等的平方的倒数（即SA_cub./SA_q，SA_cub./SB_q，SA_cub./SC_q）被取作一算术级数；密度AH，BI，CK，等等，将成一几何级数。且如果重力按照距离的四次比减小，且距离的立方的倒数（设为SA_qq/SA_cub.，SA_qq/SB_cub.，SA_qq/SC_cub.，等等）被取作一算术级数；密度AH，BI，CK，等等，将成一几何级数。且如此以至无穷。再者，如果流体的小部分的重力在所有距离是相同的，且距离成一算术级数，则密度将成一几何级数，正如杰出人士埃德蒙·哈雷所发现的。如果重力如同距离，且距离的平方成一算术级数，密度将成一几何级数。且如此以至无穷。这些事情如此，当被压力压缩的流体的密度如同压力，或者，同样地，由流体占据的空间与这个力成反比。可以设想其他的压缩定律，如压力的立方如同密度的平方的平方，或者力的三次比与密度的四次比相同。在这种情况，如果重力与离中心的距离的平方成反比，密度将与距离的立方成反比。设想压力的立方如同密度的平方的立方，且如果重力与距离的平方成反比，密度将按照距离的二分之三次反比。设想压力按照密度的二次比，且重力按照距离的二次反比，则密度与距离成反比。历述所有的情形将是冗长的。但由实验确定空气的密度或者很精确地，或者相当接近地如同压力：且所以在地球的大气中空气的密度如同压在上面的所有空气的重量，亦即，如同在气压计中水银的高度。

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