命题XXI 定理XVI

设某一流体的密度与压力成比例，且它的部分被与离中心的距离成反比的向心力向下牵引：我说，如果那些距离被取作连比，流体的密度在相同的距离上亦成连比。

指定ATV为流体压在其上的球形底面，设S为中心，距离SA，SB，SC，SD，SE，SF，等等成连比。竖立垂线AH，BI，CK，DL，EM，FN，等等，它们如同在位置A，B，C，D，E，F［等等］上的介质的密度；则在那些位置的比重如同（AH）/（AS），（BI）/（BS），（CK）/（CS）等等，或者同样，如同（AH）/（AB），（BI）/（BC），（CK）/（CD），等等。首先假设这些重力自A到B，自B到C，自C到D，等等，均匀地持续，减量阶梯式地在点B，C，D，等等发生。且这些重力乘以高度AB，BC，CD，等等得出压力AH，BI，CK，等等，由于它们底部ATV（按照定理XV）被压迫。所以小部分A承担了全部的压力AH，BI，CK，DL，如此以至无穷；且小部分B承担了除第一个AH之外的全部压力；又小部分C承担了除前两个AH，BI之外的全部压力；且如此继续下去；且因此第一个小部分A的密度AH比第二个小部分B<267.tif>，+58.4mm。35.2mm，Y#的密度BI如同总和AH+BI+CK+DL，以至无穷，比总和BI+CK+DL，［+］等等。且第二个小部分B的密度BI比第三个小部分C的密度，如同总和BI+CK+DL，［+］等等，比总和CK+DL，［+］等等。所以那些和与它们的差AH，BI，CK，等等，成比例，且因此［那些和］成连比（由本卷引理I），且所以差AH，BI，CK，等等，与和成比例，［差］亦成连比。所以，由于在位置A，B，C，等等的密度如同AH，BI，CK，等等，它们亦成连比。跳跃地进行，且由错比，在成连比的距离SA，SC，SE，密度AH，CK，EM成连比。且由同样的论证，在任意成连比的距离SA，SD，SG，密度AH，DL，GO成连比。现在点A，B，C，D，E，等等会合，使得比重的级数自底部A至流体的顶端成为连续的，则在任意成连比的距离SA，SD，SG，总构成连比的密度AH，DL，GO，将仍保持连比。此即所证。

系理 因此，如果在两个位置上流体的密度被给定，置为A和E，能推知它在其他任一位置Q的密度。以S为中心，SQ，SX为直角渐近线画双曲线截垂线AH，EM，QT于a，e，q，且截向渐近线SX落下的垂线HX，MY，TZ于h，m和t。使面积YmtZ比给定的面积YmhX如同给定的面积EeqQ比给定的面积EeaA；则延长的直线Zt割下的直线QT与密度成比例。因为，如果直线SA，SE，SQ成连比，则面积EeqQ，EeaA相等，且因此与这些成比例的面积YmtZ，XhmY亦相等，又直线SX，SY，SZ，亦即，AH，EM，QT成连比，正如它们应当的。且如果直线SA，SE，SQ作为在连比级数中的任意排列（ordo）而得到，直线AH，EM，QT，由于双曲线的面积成比例，将在另一连比量的级数中得到相同的排列。