命题XIII 定理X

假设一个物体由向下的均匀的重力吸引而直线上升或下降；并且它所受的阻碍部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比：我说，如果过共轭直径的端点引一个圆的和一条双曲线的直径的平行直线，又速度如同自一个给定的点所引的那些平行线的截段；则时间如同扇形的面积，它被自中心向截段的端点所引的直线割下；且反之亦然。

情形1 首先我们假设物体上升，且以中心D和任意的半直径DB画四分之一圆BETF，又过半直径DB的端点作无穷的［直线］BAP平行于半直径DF。在其上点A被给定，且截段AP被取得与速度成比例。又由于阻力的一部分如同速度且另一部分如同速度的平方；总的阻力如同AP_quad.+2BAP。连结DA，DP截圆于E和T，且重力由DA_quad.表示，这样重力比阻力如同DA_q比AP_q+2BAP：则上升的总时间如同圆扇形EDT。

因为引DVQ，割下速度AP的瞬PQ，和扇形DET的瞬DTV，它对应于时间的一个给定的瞬；又速度的那个减量PQ如同重力DA_q以及阻力AP_q+2BAP的和，亦即（由《几何原本》卷2命题12）如同DP_quad.。所以面积DPQ，它与PQ成比例，如同DP_quad.，且面积DTV，它比面积DPQ如同DT_q比DP_q，如同给定的DT_q。所以通过减去给定的小部分DTV，面积随着将来的时间的瞬均匀地减小，且所以与上升的整个时间成比例。此即所证。

情形2 如果速度在物体上升中用长度AP表示，如同上面，且阻力被假设为如同AP_q+2BAP，且如果重力小于能由DA_q表示的，取BD，它的长度使得AB_q-BD_q与重力成比例，又DF垂直且等于DB，且过顶点F画双曲线FTVE，它的共轭半直径为DB和DF，且它截DA于E，又截DP，DQ于T和V；则上升的总时间如同双曲线扇形TDE。

因为在给定的时间的小部分产生的速度的减量PQ，如同阻力AP_q+2BAP以及重力AB_q-BD_q的和，亦即，如同BP_q-BD_q。但是面积DTV比面积DPQ如同DT_q比DP_q；且因此，如果向DF落下垂线GT，如同GT_q或者GD_q-DF_q比BD_q，且如同GD_q比BP_q，又由分比，如同DF_q比BP_q-BD_q。所以，由于面积DPQ如同PQ，亦即，如同BP_q-BD_q；面积DTV如同给定的DF_q。所以在每一相等的时间的小部分，由减去相同数目的给定的小部分DTV，面积EDT均匀地减小，且所以与时间成比例。此即所证。

情形3 设AP为物体在下落时的速度，且AP_q+2BAP为阻力，又BD_q-AB_q为重力，角DBA为一个直角。且如果以中心D，主顶点B，画直角双曲线BETV截延长的DA，DP和DQ于E，T和V；则这个双曲线扇形DET如同下落的整个时间。

由于速度的增量PQ，且与它成比例面积的DPQ，如同重力对阻力的超出，亦即，如同BD_q-AB_q-2BAP-AP_q或者BD_q-BP_q。又面积DTV比面积DPQ如同DT_q比DP_q，且因此如同GT_q或者GD_q-BD_q比BP_q，又如同GD_q比BD_q，再由分比，如同BD_q比BD_q-BP_q。所以，由于面积DPQ如同BD_q-BP_q，面积DTV将如同给定的BD_q。所以在每一相等的时间的小部分，由加上数目相同的给定的小部分DTV，面积DET均匀地增加，且所以与下落的时间成比例。此即所证。

系理 如果以中心D和半直径DA，过顶点A画相似于弧ET的弧At，且类似地对着角ADT：速度Ap比一个速度，物体经时间EDT在无阻力的空间能在上升中失去它或者在下落中获得它，如同三角形DAP的面积比扇形DAt的面积；且因此由给定的时间而被给定。因为速度，在无阻力介质中与时间，且因此与这个扇形成比例；在阻力介质中［速度］如同三角形；且在两种介质中，当速度极小，它接近等量之比，正如扇形和三角形的表现。

在物体上升时，此种情形亦被证明：当重力小于能由DA_q或者AB_q+BD_q所表示的，以及大于能由AB_q-BD_q所表示的，因而必须用AB_q表示。但是我急于转向其他问题。