命题XII 定理IX

对同样的假设，我说，如果［物体］所画出的空间被取作一算术级数，速度增加一给定的量成为一几何级数。

设在渐近线CD上点R被给定，且竖立垂线RS，它交双曲线于S，画出的空间用双曲线的面积RSED表示；又速度如同长度GD，它与给定的CG一起构成的长度按照几何级数减小，在此期间空间RSED按照算术级数增大。

因为，由于空间的减量EDde被给定，短线Dd，它是GD自身的减量，与ED成反比，且因此与CD成正比，这就是，如同同一个GD和给定的长度CG的和。但是速度的减量，在与它成反比的时间，且在此期间给定的空间的小部分DdeE被画出，如同阻力和时间的联合，亦即，与两个量的和成正比，其中一个如同速度，另一个如同速度的平方，且与速度成反比；且因此与两个量的和成正比，其中一个被给定，另一个如同速度。所以速度的减量以及直线GD的减量，如同一个给定量和一个减小的量的联合；且因为减量相似，减小的量总相似；即是速度和［直］线GD相似。此即所证。

系理1 如果速度由长度GD表示，物体画出的空间如同双曲线的面积DESR。

系理2 且如果任意假设点R，通过取GR比GD，如同开始时的速度比画出任意的空间RSED后的速度，发现点G。发现点G后，由给定的速度空间被给定，且反之亦然。

系理3 因此，由于（命题XI）由给定的时间速度被给定，又由本命题由给定的速度空间被给定；从给定的时间，空间将被给定。且反之亦然。