命题XI 定理VIII

如果一个物体所受的阻碍部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比，且只由其固有的力在类似的介质中运动；而且时间被取作一算术级数，与速度成反比的量增加一给定的量成一几何级数。

以中心C，直角渐近线CADd和CH画双曲线BEe，且AB，DE，de平行于渐近线CH。在渐近线CD上点A，G被给定。且如果时间用均匀地增加的双曲线的面积ABED表示；我说，速度能用长度DF表示，它的倒数GD与给定的CG一起构成按几何级数增长的长度CD。

因为设小面积DEed是给定的极小的时间增量，则Dd与DE成反比且因此与CD成正比。所以1/（GD）的减量，它（由本卷引理II）是（Dd）/（GD_q），如同（CD）/（GD_q）或者（CG+GD）/（GD_q），亦即，如同1/（GD）+（CG）/（GD_q）。所以，当时间ABED由给定的小部分EDed相加均匀地增长，1/（GD）按照与速度相同的比减小。因为速度的减量如同阻力，这就是（由假设）如同两个量的和，其中的一个如同速度，另一个如同速度的平方；又1/（GD）的减量如同量1/（GD）及量（CG）/（GD_q）的和，其中前者是1/（GD）自己，且后者（CG）/（GD_q）如同1/（GD）_q：因此1/（GD），由于减量的相似（analogus），如同速度。且如果量GD，它与1/（GD）成反比，增加给定的量CG；它们的和CD，在时间ABED均匀地增加时，按几何级数增大。此即所证。

系理1 所以，如果点A和G给定，时间由双曲线的面积ABED表示，则速度能用GD的倒数1/（GD）表示。

系理2 且取GA比GD如同在开始时速度的倒数比在任意时间ABED结束时速度的倒数，点G将被发现。当它被发现，由其他任意给定的时间能发现速度。