命题IX 定理VII

在刚才的证明的假定下，我说，如果一个圆扇形的和一个双曲线扇形的角的正切被取得与速度成比例，存在适当大小的半径：上升到最高位置的总时间如同圆扇形，且从最高位置下降的总时间如同双曲线扇形。

直线AC，它表示重力，引AD垂直且等于它。以D为中心，AD为半直径画四分之一圆AtE；又画直角双曲线AVZ，它有轴AX，主顶点A和渐近线DC。引Dp，DP，则圆扇形AtD如同上升到最高位置的总时间；且双曲线扇形ATD如同自最高位置下降的总时间：只要扇形的切线Ap，AP如同速度。

情形1 引直线Dvq割下扇形的ADt和三角形ADp的瞬，或者极小的小部分tDv和qDp，它们被同时画出。因为那些小部分，由于公共的角D，按照边的二次比，小部分tDv如同（qDp×tD_quad.）/（pD_quad.），亦即，由于tD被给定，如同（qDp）/（pD_quad.）。但pD_quad.等于AD_quad.+Ap_quad.，亦即，AD_quad.+AD×Ak，或者AD×Ck；又qDp等于 AD×pq。所以扇形的小部分tDv如同（Pq）/（Ck），亦即，与速度的极小的减量pq成正比，且与那个使速度减小的力Ck成反比；且因此如同对应于速度的减量的时间的小部分。又由合比，在扇形ADt中所有的小部分tDv的和，如同对应所减小的速度Ap每次失去的小部分pq的时间的小部分的和，直到那个速度减小为零并消失；这就是，整个扇形ADt如同从最高位置下降的总时间。此即所证。

情形2 引DQV既割下扇形DAV的，又割下三角形DAQ的极小的小部分TDV和PDQ；则这些小部分彼此之比如同DT_q比DP_q，亦即（如果TX和AP平行）如同DX_q比DA_q或者TX_q比AP_q，且由分比，如同DX_q-TX_q比DA_q-AP_q。但由双曲线的性质DX_q-TX_q等于AD_q，且由双曲线，AP_q等于AD×AK。所以小部分彼此之比如同AD_q比AD_q－AD×AK；亦即，如同AD比AD-AK或者AC比CK：且因此扇形的小部分TDV等于（PDQ×AC）/（CK）；由是，由于AC和AD被给定，如同（PQ）/（CK），亦即，与速度的减量成正比，且与生成减量的力成反比；且因此，如同对应于减量的时间的小部分。再由合比，时间的小部分的和，在此期间，速度AP的所有的小部分PQ被生成，如同扇形ATD的小部分的和，亦即，总的时间如同整个扇形。此即所证。

系理1 因此，如果AB等于AC的四分之一，空间，它由下落物体在任意时间画出，比一个空间，它能由物体以最大的速度AC，在相同的时间均匀地前进所画出，如同面积ABNK，它表示下落所画出的空间，比面积ATD，它表示时间。因为，由于AC比AP如同AP比AK，则（由本卷引理II系理1）LK比PQ如同2AK比AP，这就是，如同2AP比AC，且因此LK比 PQ如同AP比 AC或者AB，又KN比AC或者AD如同AB比CK；由此由错比，LKNO比DPQ如同AP比CK。但是，DPQ比DTV如同CK比AC。所以，再由错比，LKNO比DTV如同AP比AC；这就是，如同下降物体的速度比物体在下降中能获得的最大的速度。所以，由于面积ABNK和ATD的瞬LKNO和DTV如同速度，同时生成的那些面积的所有部分如同所画出的空间，且因此从开始生成的总面积ABNK和ATD如同从开始下降画出的整个空间。此即所证。

系理2 对上升时所画出的空间有同样的结论。即是，那整个空间比一个空间，它在相同的时间以速度AC画出，如同面积ABnk比扇形ADt。

系理3 物体在下落时经时间ATD的速度比一个速度，它在相同的时间在无阻力的空间所获得，如同三角形APT比双曲线扇形ATD。因为在无阻力介质中速度如同时间ATD，且在阻力介质中如同AP，亦即，如同三角形APD。又在开始下降时那些速度彼此相等，一如那些面积ATD，APD。

系理4 由同样的论证，上升时的速度比物体在相同的时间在无阻力的空间中能完全失去其整个上升的运动的速度，如同三角形ApD比圆扇形AtD；或如同直线Ap比弧At。

系理5 所以时间，在此期间物体在阻力介质中下落获得速度AP，比一段时间，在此期间［物体］在无阻力空间中下落能获得最大的速度AC，如同扇形ADT比三角形ADC。且时间，在此期间速度AP能在阻力介质上升中失去，比一段时间，在此期间相同的速度能在无阻力的空间上升中失去，如同弧At比它的切线Ap。

系理6 因此，由给定的时间，上升或下降所画出的空间被给定。因为，物体在无限的下降中最大的速度被给定（由第II卷定理VI系理2和系理3），且因此时间，在此期间物体在无阻力空间下落能获得那个速度，被给定。又按照给定的时间比刚发现的时间之比取扇形ADT或者ADt比三角形ADC；则速度AP或者Ap，以及面积ABNK或者ABnk被给定，它比扇形ADT或者ADt如同要求的空间比一个空间，它能在给定的时间由刚才发现的那个最大的速度均匀地画出。

系理7 且向后返回，由已给的上升或下降空间ABnk或者ABNk，时间ADt或者ADT被给定。