命题VIII 定理VI

如果一个物体在均匀的介质中，由于重力均匀的作用，直线上升或者下降，且画出的整个空间被分成相等的部分，在每一部分开始时（当物体上升时，加上介质的阻力；或者在物体下降时，减去它）的绝对力被导出；我说，那些绝对力成一几何级数。

设重力由给定的直线AC表示；阻力由不定的直线AK，在物体的下降中绝对力由差KC，物体的速度由直线AP表示，它是AK和AC之间的比例中项，且因此按照阻力的二分之一次比；在给定的时间的小部分所成的阻力的增量由短线KL，同时的速度的增量由短线PQ表示；又以C为中心，成直角的CA，CH为渐近线画任意双曲线BNS，交竖立的垂线AB，KN，LO于B，N，O。因为AK如同AP_q，它的瞬KL如同那个AP_q的瞬2APQ，亦即，如同AP乘以KC；然而速度的增量PQ（由运动的第II定律）与生成力KC成比例。复合KL的比和KN的比，则矩形KL×KN如同AP×KC×KN；这就是，由于矩形KC×KN被给定，如同AP。但双曲线的面积KNOL比矩形KL×KN的最终比，当点K和L会合时，为等量之比。所以那个消失的双曲线的面积如同AP。因此，双曲线ABOL的总面积由总与速度AP成比例的小部分KNOL构成，且所以与这个速度画出的空间成比例。现在那个面积被分为相等的部分ABMI，IMNK，KNOL，等等，则绝对力AC，IC，KC，LC，等等成一几何级数。此即所证。由类似的论证，在物体上升时，向点A的另一侧取相等的面积ABmi，imnk，knol，等等，显然，绝对力AC，iC，kC，lC，等等，为一连比。且因此，如果上升和下降的所有空间被取成相等，所有的绝对力lC，kC，iC，AC，IC，KC，LC，等等，为一连比。此即所证。

系理1 因此，如果所画出的空间由双曲线的面积ABNK表示；重力，物体的速度和介质的阻力能分别由直线AC，AP和AK表示；且反之亦然。

系理2 且最大的速度，物体在无限的下降中曾经获得过它，由直线AC表示。

系理3 所以如果对某一给定的速度，介质的阻力已知，最大的速度由取它比那个给定的速度，按照重力比那个已知的介质的阻力所具有的比的二分之一次比而被发现。