命题VII 定理V

如果诸球形物体所受的阻碍按照速度的二次比，在与初始运动成正比且与初始阻力成反比的时间，运动失去的部分与整个运动成比例，且所画出的空间与那些时间及初始速度的联合成比例。

因为运动失去的部分如同阻力和时间的联合。所以那些部分与整体成比例，阻力与时间的联合应如同运动。因此时间与运动成正比且与阻力成反比。由此，如果时间的小部分按照此比取得，物体总失去与整体成比例的运动的小部分。又由于速度之比被给定，它们所画出的空间总如同初始速度和时间的联合。此即所证。

系理1 所以，如果等速物体所受的阻碍按照直径的二次比：同质球以任意速度无论以何种方式运动，所画出的空间与它们的直径成比例，运动失去的部分与整体成比例。因为每个球的运动如同它的速度和质量的联合，亦即，如同速度和直径的立方的联合；阻力（由假设）如同直径的平方和速度的平方的联合；且时间（由本命题）按照前一个比的正比和后一个比的反比，亦即，与直径成正比且与速度成反比；且因此，空间，它与时间和速度成比例，如同直径。

系理2 如果等速物体所受的阻碍按照直径的二分之三次比：同质球以任意速度无论以何种方式运动，所画出的空间按照直径的二分之三次比，运动失去的部分与整体成比例。

系理3 且一般地，如果等速物体所受的阻碍按照直径的任意次比：空间，同质球以任意速度无论以何种方式在其中运动，运动失去的部分与整体成比例，如同直径的立方除以那个幂。令［球的］直径为D和E，且如果阻力，当假定速度相等时，如同Dⁿ和Eⁿ。空间，球以任意速度无论以何种方式在其中运动，运动失去的部分与整体成比例，如同D^3-n和E^3-n。且所以同质球画出的空间与D^3-n和E^3-n成比例，并按照与在开始时彼此之比相同的比保持速度。

系理4 但是，如果球不是同质的，由较密的球画出的空间应按照密度之比被增加。因为运动，对于相同的速度，其大小按照密度之比，且时间（由本命题）按照运动的正比被增大，而所画出的空间按照时间之比。

系理5 又，如果球在不同的介质中运动；在介质中的空间，其他情况相同，对阻力大的［介质］，按照较大的阻力之比被减小。因时间（由本命题）按照阻力增加的比被减小，且空间按照时间之比。