命题V 定理III

如果一个物体所受的阻碍按照速度的二次比，且仅以其固有的力在一种类似的介质中运动；若时间被取为从较小项到较大项前进的几何级数：我说，在每一段时间开始时物体的速度按照同一几何级数的反比；又，空间是相等的，它们在每一段时间被画出。

因为由于介质的阻力与速度的平方成比例，且速度的减量与阻力成比例；如果时间被分为无数相等的小部分，每一段时间开始时速度的平方与同样速度的差成比例。令那些时间的小部分为AK，KL，LM，等等，在直线CD上取得，且竖立垂线AB，Kk，Ll，Mm，等等，交以中心C，直角渐近线CD，CH画出的双曲线BklmG于B，k，l，m，等等，又AB比Kk如同CK比CA，由分比，AB-Kk比Kk如同AK比CA，由更比，AB-Kk比AK如同Kk比CA，且因此如同AB×Kk比AB×CA。因此，由于AK和AB×CA被给定，则AB-Kk如同AB×Kk；且最终，当AB和Kk重合，如同ABq。再由类似的论证，Kk-Ll，Ll-Mm，等等，如同Kk_quad.，Ll_quad.，等等。所以直线AB，Kk，Ll，Mm的平方如同它们的差；于是，由于速度的平方也如同它们的差，两者的级数是类似的。由已证明的得出，这些线所画出的面积所成的级数也与速度所画出的空间所成的级数相似。所以，如果第一段时间AK开始时的速度由直线AB表示，第二段时间KL开始时的速度由直线Kk表示，且第一段时间画出的长度由面积AKkB表示；此后所有速度由此后的直线Ll，Mm，等等表示，且所画出的长度由面积Kl，Lm，等等表示。又由合比，如果整个时间由它的部分的和AM表示，画出的整个长度就由它的部分的和AMmB表示。现在想象时间AM被如此分成部分AK，KL，LM等等，使得CA，CK，CL，CM，等等在一几何级数中；那些部分在相同的级数中，且速度AB，Kk，Ll，Mm，等等，按照同一级数的反比，又画出的空间Ak，Kl，Lm，等等，相等。此即所证。

系理1 所以，显然，如果时间用渐近线的任意部分AD表示，且在时间一开始时的速度用纵标线AB表示；在时间结束时的速度用纵标线DG表示，则被画出的整个空间用双曲线之下的面积ABGD表示；一个空间，它能由另一物体在相同的时间AD，以初始速度AB，在没有阻力介质中画出，用矩形AB×AD表示。

系理2 因此，在阻力介质中所画出的空间被给定，取那个空间比以均匀的速度AB能在无阻力介质中同时画出的空间，如同双曲线的面积ABGD比矩形AB×AD。

系理3 介质的阻力亦被给定，在运动刚开始时使它等于一均匀的向心力，它能在一落体通过无阻力介质时，经时间AC，生成速度AB。因为如果引BT，它切双曲线于B，且交渐近线于T；直线AT等于AC，并表示时间，在此期间初始阻力均匀地持续能抵消掉整个速度AB。

系理4 且因此这个阻力比重力，或者任意其他给定的向心力之比亦被给定。

系理5 且反之亦然，如果阻力比任意给定的向心力之比被给定；时间AC被给定，在此期间等于阻力的一个向心力能产生任意速度AB：且因此点B被给定，经过它，以CH，CD为渐近线的双曲线被画出；以及空间ABGD，物体以那个速度AB开始它的运动，在阻力类似的介质中，经任意时间AD能画出它。