命题IV 问题II

假设重力在某种类似的介质中是均匀的，且垂直趋向水平面；确定在同一介质中抛射体的运动，它所受阻碍与其速度成比例。

设抛射体从任意位置D沿任意直线DP离去，且由长度DP表示运动开始时它的速度。由点P向水平线DC落下垂线PC，并截DC于A，使得DA比AC如同来自向上运动开始时介质的阻力比重力；或者（同样）使得DA和DP之下的矩形比AC和CP之下的矩形，如同运动开始时总的阻力比重力。以渐近线DC，CP画任意双曲线GTBS截垂线DG，AB于G和B；再补足平行四边形DGKC，它的边GK截AB于Q。取直线N，按照它比QB如同DC比CP；且从直线DC上的任意点R竖立垂线RT，它交双曲线于T，且交直线EH，GK，DP于I，t和V；在RT上取Vr等于（tGT）/N，或者同样，取Rr等于（GTIE）/N；则在时刻DRTG抛射体前进到点r，画出曲线DraF，点r总与它接触，又［抛射体］在垂线AB上到达最大的高度a，且此后总向渐近线PC靠近。又在任意点r，它的速度如同曲线的切线rL。此即所求。

因为N比QB如同DC比CP或者DR比RV，且由此RV等于（DR×QB）/N，又Rr（亦即RV-Vr或者 ）等于DR×AB-RDGTN。现在时间由面积RDGT表示，且（由诸定律的系理II）物体的运动被分解为二，一个上升，另一个横向（ad latus）。又由于阻力如同运动，它亦被分解成与运动的部分成比例且相反的两部分；且因此长度，它由横向运动画出，（由本卷命题II）如同直线DR，高度（由本卷命题III）如同面积DR×AB-RDGT，这就是，如同直线Rr。但在运动开始时面积RDGT等于矩形DR×AQ，且因此那条直线Rr（或 ）在那时比DR如同AB-AQ或者QB比N，亦即，如同CP比DC；因此如同在开始时在高度上的运动比在长度上的运动。所以，由于Rr总如同高度，且DR总如同长度，又在开始时Rr比DR如同高度比长度：由此Rr比DR总如同高度比长度，且所以物体在［曲］线DraF上运动，点r与它持续接触。此即所证。

系理1 所以Rr等于（DR×AB）/N-（RDGT）/N；且因此，若延长RT至X使得RX等于（DR×AB）/N；亦即，若补足平行四边形ACPY，连结DY截CP于Z，且延长RT直至它交DY于X；则Xr等于（RDGT）/N，且因此与时间成比例。

系理2 因此，如果在一几何级数中取无数的CR，或者无数的ZX，亦达到同样的目的；则同样数目的Xr在一算术级数中。因此借助对数表，曲线DraF容易被画出。

系理3 如果以顶点D，直径DE向下延长，且通径比2DP如同运动开始时的总阻力比重力，构作抛物线：速度，物体应以它沿直线DP离开位置D，在阻力均匀的介质中画出曲线DraF，与它应离开同一位置D，沿同一直线DP，在没有阻力的空间画出一条抛物线的速度是相同的。因为这条抛物线的通径，在运动刚开始时，是（DV_quad.）/（Vr）；且Vr等于（tGT）/N或（DR×Tt）/（2N）。但如果引一条平行于Dk的直线，它将与双曲线GTS切于G，因此Tt等于（CK×DR）/（DC），且N等于（QB×DC）/（CP）。且所以Vr等于（DR_q×Ck×CP）/（2DC_q×QB），亦即（由于DR和DC，DV和DP成比例）（DV_q×CK×CP）/（2DP_q×QB），又得出通径（DV_quad.）/（Vr）为（2DP_q×QB）/（CK×CP），亦即（由于QB和CK，DA和AC成比例）（2DP_q×DA）/（AC×CP），且因此比2DP，如同DP×DA比CP×AC；这就是，如同阻力比重力。此即所证。

系理4 因此，如果物体从任意位置D，沿任意位置给定的直线DP，以给定的速度被抛射；且介质的阻力在运动一开始即被给定，能发现曲线DraF，它由同一物体画出。因由所给定的速度，抛物线的通径亦被给定，这是习知的。又取2DP比那条通径如同重力比阻力，DP被给定。其次，在A分割DC，使得CP×AC比DP×DA按照重力比阻力的那个相同的比，点A被给定。且由此曲线DraF被给定。

系理5 且反之，如果曲线DraF被给定，则物体的速度和介质的阻力在每个位置r被给定。因为由给定的CP×AC比DP×DA之比，运动开始时介质的阻力及抛物线的通径都被给定；且因此运动开始时的速度亦被给定。然后在任意位置r，由切线rL的长度，与它成比例的速度，以及与速度成比例的阻力被给定。

系理6 但是由于长度2DP比抛物线的通径如同重力比在D的阻力；且增加速度，阻力按照相同的比被增加，抛物线的通径按照那个比的二次方增加：显然长度2DP按照那个简单的比增加，且因此它总与速度成比例，由角CDP的改变，它既不增加，亦不减小，除非速度被改变。

系理7 因此，从现象近似地确定曲线DraF的方法是明显的，并因此推知阻力和物体被抛射的速度。设两个相似且相等的物体以相同的速度从位置D以不同的角CDP，CDp被抛射，且已知它们落在水平面DC上的位置F，f。然后，假设取任意长度代表DP或Dp，设想在D的阻力比重力按照任意的比，且那个比由任意的长度SM表示。此后，经过计算，从那个假设的长度DP，求得长度DF，Df，并从经计算发现的比（Ff）/（DF）减去经实验发现的同样的比，且差由垂线MN表示。在直线SM的一侧画正的差，并在另一侧画负的差，经过点N，N，N画一条规则的曲线^（33）NNN截直线SMMM于X，则SX为阻力比重力的真实比，它就是所要求的。由这个比经计算求得长度DF；则长度，它比假设的长度DP，如同由实验得知的长度比刚才发现的长度DF，是真实长度DP。这一旦求得，就既有了物体所画出的曲线DraF，又有了在每个位置物体的速度和阻力。

然而，物体的阻力按照速度之比，这一假设作为数学上的更甚于它作为自然界的。在介质中，它们完全缺乏刚性（rigor），物体的阻力按照速度的二次比。因为由更迅速的物体的作用，按照更大的速度之比的更大的运动在更短的时间被传播给相同量的介质；且因此在相等的时间，由于更大量的介质被扰动，更大的运动按照［速度的］二次比被传播；且阻力（由运动的定律II和定律III）如同被传播的运动。所以，我们来看看，由这个阻力定律能发生何种运动。