命题III 问题I

一个物体，当它在类似的介质中直线上升或下降时，所受阻碍按照速度的比，且被均匀的重力推动，确定它的运动。

物体上升时，由任意给定的矩形BACH表示重力，且在开始上升时，介质的阻力由直线AB另一侧的矩形BADE表示。对成直角的渐近线AC，CH，过点B画双曲线截垂线DE，de于G，g；则上升的物体在时间DGgd画出空间EGge，在时间DGBA画出整个上升的空间EGB；在时间ABKI画出下降的空间BFK，且在时间IKki画出下降的空间KFfk；且物体的速度（与介质的阻力成比例）在这些时期分别是ABED，ABed，零，ABFI，ABfi；再者，最大的速度，它能由物体在下降中获得，为BACH。

因为把矩形BACH分解为无数矩形Ak，Kl，Lm，Mn，等等，它们如同同样数目的相等时间所成的速度增量；零，Ak，Al，Am，An，等等，如同整个速度，且因此（由假设）如同每一段相等的时间开始时介质的阻力。使AC比AK或者ABHC比ABkK如同重力比第二段时间开始时的阻力，再从重力减去阻力，则留下的ABHC，KkHC，LlHC，MmHC，等等，如同绝对力，由它们在每一段时间开始时物体被推动，且因此（由运动定律II）如同速度的增量，亦即，如同矩形Ak，Kl，Lm，Mn，等等，且所以（由第II卷引理I）成一几何级数。所以，如果延长直线Kk，Ll，Mm，Nn，等等交双曲线于q，r，s，t，等等，则面积ABqK，KqrL，LrsM，MstN，等等，相等，且因此既与总是相等的时间又与总是相等的重力类似。但是面积ABqK（由第I卷引理VII系理3和引理VIII）比面积Bkq如同Kq比 kq或者AC比12AK，这就是，如同重力比在第一段时间中间的介质中的阻力。由类似的论证，面积qKLr，rLMs，sMNt等等，比面积qklr，rlms，smnt，等等，如同重力比在第二段时间中间的，第三段时间中间的，第四段时间中间的，等等的阻力。因为相等的面积BAKq，qKLr，rLMs，sMNt，等等与重力类似，面积Bkq，qklr，rlms，smnt，等等与在每一段时间中间的阻力类似，这就是（由假设）与速度类似，因此与画出的空间类似。对类似的量求和，面积Bkq，Blr，Bms，Bnt，等等，与所画出的整个空间类似；且面积ABqK， ABrL，ABsM，ABtN，等等，与时间类似。所以物体在下降期间，在任意的时间ABrL，画出空间Blr，且在时间LrtN，画出空间rlnt。此即所证。对上升运动有类似的证明。此即所证。

系理1 所以，最大的速度，物体在下落中能获得这一速度，比任意给定的时间它所获得的速度，如同给定的重力，由它那个物体持续被推动，比阻碍力，由它在那段时间的最后物体被施加。

系理2 然而，时间按照算术级数增长，那个最大的速度与上升时速度的和，及同一速度与下降时速度的差，按照几何级数减小。

系理3 但是空间的差，它们在相等的时间差被物体画出，按照相同的几何级数减小。

系理4 被物体所画出的空间是两个空间的差，其中一个空间如同从下落开始所用的时间，另一个空间如同速度，这些空间在下落开始时彼此相等。