命题XCVIII 问题XLVIII

假定同样的情形，又围绕轴AB画出任意一个规则的或者不规则的吸引表面CD，从一个给定的位置A发出的物体应经过它：需求第二个吸引表面EF，由它所有那些物体汇聚到一个给定的位置B。

连结AB截第一个表面于C且截第二个表面于E，任意选取点D。并假设在第一个表面入射的正弦比从同一个表面出射的正弦，和从第二个表面出射的正弦比在同一个表面入射的正弦，如同给定的某个量M比另一个给定的量N：延长AB至G，使得BG比CE如同M－N比N；又延长AD至H，使得AH等于AG；再延长DF至K，使得DK比DH如同N比M。连结KB，且以D为中心，DH为间隔画圆交KB的延长于L，引BF平行于DL：则点F接触［曲］线EF，它围绕轴AB旋转画出要求的面。此即所作。

因为想象线CP，CQ分别与线AD，DF，且线ER，ES分别与线FB，FD处处垂直，且因此QS和CE总相等；又（由命题XCVII系理2）PD比QD如同M比N，且因此如同DL比DK或者FB比FK；再由分比如同DL－FB或者PH－PD－FB比FD或者FQ－QD；又由合比，如同PH－FB比FQ，亦即（由于PH与CG，QS与CE相等）CE+BG－FR比CE－FS。事实上（由于BG比CE和M－N比N成比例）CE+BG比CE也如同M比N；且因此由分比FR比FS如同M比N；且所以（由命题XCVII系理2）面EF逼迫沿直线DF入射的物体，沿直线FR前往位置B。此即所证。

按同样的方法可继续到三个或者更多的表面。但对于光学的应用，球形最为适宜。如果望远镜的物镜由中间封闭着水的两块玻璃构成；则发生在最外面的玻璃表面的折射，可能由水的折射而很精确地加以校正，这些物镜优于椭圆形或者双曲线形透镜。不仅因为它们能更容易且更准确地制造，也因为它们能更准确地曲折位于透镜轴之外的光锥（penicillus radii）。然而，不同光线的不同折射能力是通过或者球形或者其他任意图形的完善的光学的阻碍。除非产生于这个根源的那些误差能被校正，用在校正其他误差的一切辛劳均为浪费。