命题XCIV 定理XLVIII

如果两种相似的介质被终止于两个平行平面的空间彼此分开，且一个物体在穿过这个空间时垂直地向着任一介质被吸引或者推动，而不受其他任何力的推动或者阻碍；在平面同侧与平面等距离的各处的吸引相同：我说，在两者之中的一个平面上入射的正弦比从另一个平面上出射的正弦按照给定的比。

情形1 令Aa，Bb为两个平行平面。物体沿直线GH进入第一个平面Aa，且在经过中间的空间的整个路径中向着入射的介质被吸引或者推动，且由这个作用它画出曲线HI，再沿直线IK出射。向出射平面Bb竖立垂线IM，它与入射直线GH的延长交于M，又与入射平面Aa交于R；再者出射直线KI的延长交HM于L。以L为中心，LI为间隔画圆，既截HM于P，和Q，又截MI的延长于N；且首先，如果吸引或者推动被假定为均匀的，曲线HI（由伽利略的证明）为抛物线，它的给定的通径和直线IM之下的矩形等于正方形HM是抛物线的一个性质；且直线HM又平分于L。因此，如果向MI落下垂线LO；MO，OR是相等的；再加上相等的ON，OI，总和MN，IR相等。因为由于IR被给定，MN亦被给定；矩形NMI比通径和直线IM之下的矩形，这就是，比HM_q，按照给定的比。但矩形NMI等于矩形PMQ，亦即正方形ML_q与PL_q或者LI_q的差；又HM_q比其四分之一的部分ML_q有给定的比；所以ML_q－LI_q比ML_q之比被给定，且由换比（convertendo），LI_q比ML_q之比，以及其二分之一次比LI比ML［亦被给定］。但在每个三角形LMI中，角的正弦与对边成比例。所以入射角LMR的正弦比出射角LIR的正弦之比被给定。此即所证。

情形2 现在物体相继穿过终止于平行平面的一些空间，AabB，BbcC等等，且在单独一个空间作用的力是均匀的，并随空间的不同而不同；由刚才的证明，在第一个平面Aa入射的正弦比从第二个平面Bb出射的正弦，按照给定的比；且这个正弦，它是在第二个平面Bb入射的正弦，比从第三个平面Cc出射的正弦，按照给定的比；且这个正弦比从第四个平面Dd出射的正弦，按照给定的比；且如此以至无穷：又由错比，在最初一个平面入射的正弦比从最后一个平面出射的正弦按照给定的比。现在，减小平面的间隔并且它们的数目增加以至无穷，使吸引或者推动作用，遵照任意设定的定律，成为连续的；则在最初一个平面入射的正弦比从最后一个平面出射的正弦之比，总被给定，因而现在仍被给定。此即所证。