命题XCIII 定理XLVII

如果一个立体的一侧是一平面，其余侧面是无限的，由同等吸引的相等的小部分构成，它们的力在从立体退离时按照大于距离的平方的任意次幂的比减小，且放在平面的任一侧的小物体被整个立体的力所牵引：我说，立体的那个吸引力在退离立体的平面时按照一个幂的比减小，它的底为小物体离平面的距离，且其指数比距离的幂指数小三。

情形1 设LGl为一个平面，立体终止于它。立体位于这个平面向着I的一侧，且被无数与GL平行的平面mHM，nIN，oKO等等分解。首先设被吸引物体C安放在立体之外。引CGHI垂直于那些无数的平面，且立体的点的吸引力按照距离的一个幂下降，它的指数为不小于三的数n。所以（由命题XC系理3）力，由它任意平面mHM牵引点C，与CH^n-2成反比。在平面mHM上取长度HM与CH^n-2成反比例，则那个力如同HM。类似地，在每个平面lGL，nIN，oKO等等上，取长度GL，IN，KO等等，与CG^n-2，CI^n-2，CK^n-2等等成反比例，则那些平面的力如同所取的长度，且因此力的和如同长度的和，这就是，整个立体的力如同向着OK无限延长的面积GLOK。但是那个面积（由熟知的求积法）与CG^n-3成反比，且所以整个立体的力与CG^n-3成反比。此即所证。

情形2 现在设小物体C被安放在立体lGL之内，且取距离CK等于距离CG。立体的部分LGloKO，终止于平行平面lGL，oKO，位于中间的小物体C在任何方向上不被牵引，相对点的相反作用由于相等而彼此抵消。因此小物体C只是被平面OK之外的立体牵引。但是这个力（由第一种情形）与CK^n-3成反比，这就是（由于CG，CK相等）与CG^n-3成反比。此即所证。

系理1 因此，如果立体LGIN在两侧终止于两平行的无穷平面IG，IN；它的吸引力能通过从整个无穷立体LGKO的吸引力减去较远的部分NIKO的吸引力而得知，NIKO向着KO无限伸展。

系理2 如果这个立体的较远的无穷部分，它的吸引与较近部分的吸引相比是几乎为零的瞬（momentum），而被抛弃：那个较近的部分的吸引随着距离的增加很接近地按照幂CG^n-3的比减小。

系理3 且因此，如果任意有限且一侧为平面的物体吸引正对着那个平面的中间的小物体，且小物体和平面之间的距离与吸引物体的宽广相比甚小，而吸引物体由相同的小部分构成，它们的吸引力按照距离的大于四次的一个幂的比减小；整个物体的吸引力很接近地按照一个幂的减小，它的底是那个甚小的距离，且指数比前一个指数小三。对由吸引力按照距离的三次比减小的小部分构成的物体，断言不成立；因为在这种情形，系理2中无限物体的那个较远的部分的吸引，总是无限地大于较近的部分的吸引。

如果某一物体被垂直地向着一个给定的平面牵引，且从所给的吸引定律需求物体的运动：通过求（由命题XXXIX）物体向这个平面的直线降落运动，和（由诸定律的系理II）这个运动与一个均匀运动的复合，它沿平行于同一平面的直线进行，使问题得以解决。且反之，如果需求沿垂直于平面的直线向着平面的吸引定律，这个条件使被吸引物体在任意给定的曲线上运动，此问题按照处理问题三的方式被解决。