命题XCI 问题XLV

求放在圆形立体的轴上的一个小物体的吸引，趋向立体的每个点的同等的向心力按照距离的任意的比减小。

设小物体P被向着立体DECG牵引，小物体位于立体的轴AB上。垂直于这个轴的任意圆RFS与这个立体相截，且在它的半直径FS上，它在某个穿过轴的平面PALKB内，取（由命题XC）长度FK，它与小物体P被吸向那个圆的力成比例。点K接触的曲线LKI交最外面的圆的平面AL和BI于L和I；则小物体P向着立体的吸引如同面积LABI。此即所求。

系理2 因此，也能知道一个力，由它一个扁球（sphærois）AG BC牵引任意的物体P，物体位于扁球外且在它的轴AB上。设NKRM为一条圆锥截线，它的纵标线ER垂直于PE，总等于长度PD，它引向那个点D，在那个点这条纵标线与扁球相截。自扁球的顶点A，B竖立垂直于其轴AB分别等于AP，BP的垂线AK，BM，且所以交圆锥截线于K和M；又连结KM从同一圆锥截线中割下弓形KMRK。设扁球的中心为S且最大的半直径为SC：力，由它扁球牵引物体P，比一个力，由它以直径AB画出的球牵引同一个物体，如同（AS×CS_q-PS×KMRK）/（PS_q+CS_q-AS_q）比（AS_cub.）/（3PS_quad.）。且由相同的计算原则可以发现扁球截形的力。

系理3 如果小物体被放在扁球内并在其轴上；吸引如同它离中心的距离。这容易由以下的论证推出，无论小部分在轴上，还是在任意其他给定的直径上。设AGOF为吸引扁球，S为它的中心，且P为被吸引物体。经那个物体P既引半直径SPA，又引两条任意直线DE，FG交扁球的这一侧于D，F，那一侧于E和G；且设PCM，HLN为两个内扁球面，与外扁球面相似且同心，前一个扁球面穿过物体P，且截直线DE和FG于B和C，后一个扁球面截相同的直线于H，I和K，L。所有的扁球有一个公共的轴，则直线在两侧被截取的部分DP和BE，FP和CG，DH和IE，FK和LG彼此相等；因为直线DE，PB，和HI在同一点被平分，如同直线FG，PC和KL。现在想象DPF，EPG表示对顶圆锥，它们由无限小的顶点角DPF，EPG画出，且直线DH，EI也无限地短；又圆锥被扁球面割下的小部分DHKF，GLIE，由于直线DH，EI相等，彼此之比如同它们离小物体P的距离的平方，且所以那个小物体受到相等的牵引。由同样的理由，如果空间DPF和EGCB被无数相似的同心的且有一公共轴的扁球面分成小部分，所有这些小部分在相反的方向从两边牵引物体P。所以圆锥DPF的力与圆锥截形EGCB的力相等，且由于相反而彼此抵消。且对最里边的扁球PCBM外的所有物质的力，情形相同。所以物体P只受最里边的扁球PCBM的牵引，且因此（由命题LXXII系理3）它的吸引比一个力，由这个力物体A被整个扁球AGOD吸引，如同距离PS比距离AS。此即所证。