命题LXXXII 定理XLI

在以中心S、间隔SA所画出的球中，如果取SI，SA，SP成连比例：我说，在球内任意位置I的小物体的吸引比它在球外位置P的吸引，按照来自离中心的距离IS，PS的二分之一次比和在那些位置P及I趋向中心的向心力的二分之一次比的复合比。

正如，若球的小部分的向心力与被它们吸引的小物体的距离成反比；力，由它位于I的小物体被整个球牵引，比一个力，由它在P的小物体被球牵引，按照来自距离SI比距离SP的二分之一次比，和在位置I起源于在中心的另一小部分的向心力比在位置P起源于同一个在中心的小部分的向心力的二分之一次比，亦即，距离SI，SP相互之比的二分之一次反比的复合比。这两个二分之一次比复合出等量之比，且所以在I和P由整个球产生的吸引相等。由类似的计算，如果球的小部分的力按照距离的二次反比，得出在I的吸引比在P的吸引，如同距离SP比球的半直径SA；如果那些力按照距离的三次反比，在I和P的吸引的彼此之比如同SP_quad.比SA_quad.；如果那些力按照距离的四次反比，在I和P的吸引的彼此之比如同SP_cub.比SA_cub.。在这个最后的情形，由于在P的吸引曾被发现为与PS_cub.×PI成反比，在I的吸引与SA_cub.×PI成反比，亦即（由于SA_cub.给定）与PI成反比。同样的进程以至无穷。定理的证明如下。

现在保持上面的作图，且存在一个小物体在任意的位置P，纵标线DN被发现如同（DE_q×PS）/（PE×V）。所以，如果引IE，对小物体在其他任意位置I的那条纵标线，经过必要的变化（mutatis mutandis），得出它如同（DE_q×IS）/（IE×V）。假设向心力，它由球面的任意点E流出，在距离IE，PE的彼此之比，如同PEⁿ比IEⁿ（这里数n指明PE和IE的幂指数）且那些纵标线变得如同（DE_q×PS）/（PE×PEⁿ）和（DE_q×IS）/（IE×IEⁿ），它们的彼此之比如同PS×IE×IEⁿ比IS×PE×PEⁿ。因为，由于SI，SE，SP构成连比，三角形SPE，SEI相似，且由此，IE比PE如同IS比SE或者SA；把IE比PE之比写成IS比SA之比，则得出纵标线之比如同PS×IEⁿ比SA×PEⁿ。但PS比SA是距离PS和SI的二分之一次比，且IEⁿ比PEⁿ（由于比例IE比PE如同IS比SA）是在距离PS，IS的力的二分之一次比。所以纵标线，且因此面积，它们由纵标线画出，与它们成比例的吸引，按照来自那些二分之一次比的复合比。此即所证。