命题LXXX 定理XL

如果趋向以中心S画出的任意球ABE的每个小部分有同等的向心力，且向球的轴AB，某小物体P位于该轴上，由每个点D竖立垂线DE，交球于E，且在那些垂线上取长度DN，它如同量（DE_q×PS）/（PE）以及一个力的联合，位于轴上的球的小部分在距离PE以这个力施加于小物体P：我说，整个力，由它小物体P被向着球牵引，如同球的轴AB在下面与曲线ANB所围的面积，点N与曲线持续接触。

保持在上面的引理和定理中相同的作图，想象球的轴AB被分成无数等于Dd的小部分，且整个球被分为相同数目的既凹且凸的球形薄片（lamina sphærica）EFfe；并竖立垂线dn。由上面的定理，力，由它的薄片EFfe牵引小物体P，如同DE_q×Ff和一个小部分在距离PE或者PF施加的力的联合。但是（由上面的引理）Dd比Ff如同PE比PS，且因此Ff等于（PS×Dd）/（PE）；又DE_q×Ff等于Dd乘以（DE_q×PS）/（PE），且所以薄片EFfe的力如同Dd乘以（DE_q×PS）/（PE）和一个小部分在距离PF施加的力的联合，这就是（由假设）如同DN×Dd，或者消失的面积DNnd。所以所有薄片施加于物体P的力，如同所有DNnd的面积，这就是，球的整个力如同整个ANB的面积。此即所证。

系理1 因此，如果趋向每个小部分的向心力在所有的距离总保持相同，且DN被取得如同（DE_q×PS）/（PE）：则整个力，由它小物体被球牵引，如同面积ANB。

系理2 如果小部分的向心力与被它吸引的小物体的距离成反比，且DN被取得如同（DE_q×PS）/（PE_q）：则力，由它小物体被整个球牵引，如同面积ANB。

系理3 如果小部分的向心力与被它吸引的小物体的距离的立方成反比，且DN被取得如同（DE_q×PS）/（PE_qq）：则力，由它小物体被整个球牵引，如同面积ANB。

系理4 并且一般地，如果往球的每个小部分的向心力被设为与量V成反比，又DN被取得如同（DE_q×PS）/（PE×V）：则力，由它小物体被整个球牵引，如同面积ANB。