命题LXXIX 定理XXXIX

如果厚度无限减小的正消失的面EFfe围绕轴PS旋转，画出既凹且凸的球形立体，趋向它的每个相等的小部分有同等的向心力：我说，力，由它那个立体牵引位于P的小物体，按照来自立体DE_q×Ff的比，和在位置Ff的给定的小部分牵引同一个小物体的力的比的复合比。

因为，如果我们首先考虑球面FE的力，它由弧FE旋转产生，且被直线de截于任意处r；这个面的环形部分，它由弧rE旋转产生，如同短线Dd，球的半径PE被保持（如阿基米德在书《论球与圆柱》（de Sphœra & Cylindro）中的证明）。且这个面的力，沿遍布于锥面的直线PE或者Pr施加，如同这个环形部分自身；这就是，如同短线Dd，或者，同样，如同给定的球半径和那条短线Dd之下的矩形；沿直线PS趋向中心S，［这个力］按照PD比PE之比减小，且因此如同PD×Dd。现在假设直线DF被分成无数相等的小部分，每一小部分被称为Dd；且球面FE被分成相同数目的等环，它的力如同PD×Dd的总和，这就是，如同 PF_q－ PD_q，因此如同DE_quad.。现在，面FE乘以高度Ff，则立体EFfe施加于小物体P上的力如同DE_q×Ff：假定某个给定的小部分Ff在距离PF对小物体P施加的力被给定，且如果那个力没有被给定。立体EFfe的力变得如同立体DE_q×Ff和那个没有被给定的力的联合。此即所证。