引理XXIX

如果以中心S画任意圆AEB，且以中心P画两个圆EF，ef，它们截前一个圆于E，e，又截直线PS于F，f；再向PS上落下垂线ED，ed：我说，如果假使弧EF，ef之间的距离减小以至无穷，消失的直线Dd比消失的直线Ff的最终比与直线PE比直线PS是相同的。

因为，如果直线Pe截弧EF于q；又直线Ee，它与消失的弧Ee重合，被延长交直线PS于T；再由S向PE落下成直角的线SG：由于三角形DTE，dTe，DES相似；Dd比Ee，如同DT比TE，或者DE比ES；又因为三角形Eeq，ESG（由引理VIII和引理VII系理3）相似，Ee比eq或者Ff如同ES比SG；再由错比，Dd比Ff如同DE比SG；这就是（由于三角形PDE，PGS相似）如同PE比PS。此即所证。