命题LXXVII 定理XXXVII

如果趋向球的每一点的向心力与点离被吸引物体的距离成比例：我说，合成的力，由它两个球相互牵引，如同球的中心之间的距离。

情形1 设AEBF为一个球，S为它的中心；P为被吸引的小物体；球的轴PASB穿过小物体的中心；两个平面EF，ef截球面并垂直于这个轴，且一个平面在一侧，另一个平面在另一侧，离球的中心的距离相等；G，g是平面和轴的公共部分；又H是平面EF上的任意一点。点H的沿直线PH施加于小物体P上向心力，如同距离PH；且它的（由诸定律的系理II）沿直线PG，或者向着中心S［的向心力］，如同长度PG。所以在平面EF的所有点的力，这就是整个平面的力，由它小物体被向着中心S吸引，如同距离PG乘以点的数目，亦即，如同包含于那个平面EF自身和那个距离PG之下的立体。且类似地，平面ef的力，由它小物体P被向着中心S吸引，如同那个平面乘以它自己的距离Pg，或者如同与此相等的平面EF乘以那个距离Pg；则那两个平面的力之和如同平面EF乘以距离之和PG+Pg，亦即，如同那个平面乘以二倍的中心和小物体的距离PS，这就是，如同二倍的平面EF乘以距离PS，或者如同相等的平面之和EF+ef乘以同一距离。由类似的论证，在整个球中所有平面的力，在离球的中心距离相等的两侧，如同平面之和乘以距离PS，这就是，如同整个球和距离PS的联合。此即所证。

情形2 现在小物体P牵引球AEBF。由相同的论证可以证明，力，由它那个球被牵引，如同距离PS。此即所证。

情形3 现在另一个球由无数小物体P组成；且因为力，由它任意小物体被牵引，如同小物体离第一个球的中心的距离与同一个球的联合，因此犹如所有的力来自在球的中心的单独一个小物体那样；整个力，由它在第二个球中的所有小物体被牵引，这就是，由它那个球的整体被牵引，犹如那个球被牵引的力来自第一个球的中心的单独一个小物体那样，且所以与球的中心之间的距离成比例。此即所证。

情形4 设球彼此相互牵引，则被加倍的力保持以前的比例。此即所证。

情形5 现在设小物体p位于球AEBF的里面；则因为对于小物体平面ef的力如同包含于那个平面和距离pg之下的立体；且平面EF的相反的力如同包含于那个平面和距离pG之下的立体；两者合成的力如同立体的差，这就是，如同相等的平面的和乘以距离的差的一半，亦即，如同那个和乘以小物体离球的中心的距离pS。又由类似的论证，在整个球中，所有平面EF，ef的吸引，这就是，整个球的吸引，如同所有平面的和，或者整个球，与小物体离球的中心的距离pS的联合。此即所证。

情形6 且如果由无数个小物体p组成一个新球，位于原先的球AEBF内；如同前面可以证明，吸引，或者一个球对于另一个球的单纯吸引，或者两者彼此相互吸引，如同中心间的距离pS。此即所证。