命题LXXI 定理XXXI

假定同样的情形，我说，处于球面外的一个小物体被吸向球的中心，力与它离同一中心的距离的平方成反比。

设AHKB，ahkb为以S，s为中心，AB，ab为直径画出的两个相等的球面，且位于球外的小物体P，p在那些直径的延长上。由小物体引直线PHK，PIL，phk，pil，从最大圆AHB，ahb截下相等的弧HK，hk和IL，il；又往它们落下垂线SD，sd；SE，se；IR，ir；其中SD，sd截PL，pl于F和f。再往直径上落下垂线IQ，iq。设角DPE和dpe消失，又由于DS和ds，ES和es相等，直线PE，PF和pe，pf以及短线DF，df可认为是相等的；因为它们的最终比，当那些角DPE，dpe同时消失时，是等量之比。这些既已确定，则PI比PF如同RI比DF，且pf比pi如同df或者DF比ri；又由错比，PI×pf比PF×pi如同RI比ri，这就是（由引理VII系理3）如同弧IH比弧ih。再者，PI比PS如同IQ比SE，且ps比pi如同se或者SE比iq；又由错比，PI×ps比PS×pi如同IQ比iq。由比的联合，PI_quad.×pf×ps比pi_quad.×PF×PS如同IH×IQ比ih×iq；这就是，如同圆形面，它由弧IH当半圆AKB围绕直径AB转动时画出，比一个圆形面，它由弧ih当半圆akb围绕直径ab转动时画出。且力，由它们这些面沿直线向着自己牵引小物体P和p，与（由假设）这些面成正比，且与面离物体的距离的平方成反比，这就是，如同pf×ps比PF×PS。又，这些力比它们的倾斜部分，即那些（由诸定律的系理2，力被分解）沿直线PS，ps趋向中心的力，如同PI比PQ，和pi比pq；亦即，（由于三角形PIQ和PSF，piq和psf相似）如同PS比PF和ps比pf。因此，由错比，这个小物体P向着S的吸引比小物体p向着s的吸引，如同（PF×pf×ps）/（PS）比（pf×PF×PS）/（ps），这就是，如同ps_quad.比PS_quad.。且由类似的论证，力，由它们弧KL，kl转动所画出的面牵引小物体，如同ps_quad.比PS_quad.，且两个球面通过总是取sd等于SD和se等于SE能被划分为圆形面，所有圆形面的力按照相同的比。又由合比，整个球面施加在小物体上的力，按照相同的比。此即所证。