命题LXIX 定理XXIX

在多个物体A，B，C，D等的一个系统中，如果任一物体A牵引其他所有物体B，C，D等等，加速力与离牵引物体的距离的平方成反比；且另一物体B也牵引其他物体A，C，D等等，力与离牵引物体的距离的平方成反比：牵引物体A与B的绝对力相互之比如同那些力所属的物体A，B之比。

因所有物体B，C，D［等等］向着A的加速吸引，在相等的距离，由假设它们彼此相等；类似地，所有物体向着B的加速吸引，在相等的距离，彼此相等。此外，在相等的距离，物体A的绝对的吸引力比物体B的绝对的吸引力，如同所有物体向着A的加速吸引比所有物体向着B的加速吸引，且由是也等于物体B向着物体A的加速吸引比物体A向着物体B的加速吸引。但物体B向着A的加速吸引比物体A向着B的加速吸引，如同物体A的质量比物体B的质量；因为引起运动的力，它们（由定义二，定义七和定义八）如同加速力和被吸引物体的联合，在这一情形（由运动的第三定律）彼此相等。所以，物体A的绝对的吸引力比物体B的绝对的吸引力，如同物体A的质量比物体B的质量。此即所证。

系理1 因此，如果A，B，C，D等的一个系统中的每一个物体单独地牵引所有其他的物体的加速力，与离牵引物体的距离的平方成反比，所有那些物体的绝对的力的相互之比如同物体自身之比。

系理2 由同样的论证，如果A，B，C，D等的一个系统中的每一个物体单独地牵引所有其他物体的加速力，与离牵引物体的距离的任意次方成反比或者成正比，或者它由离每一个牵引物体的距离按照任意公共的定律定义；显然，那些物体的绝对的力如同物体。

系理3 在物体的一个系统中，力按照距离的二次比减小，如果较小的物体环绕最大的一个物体尽可能精确地在椭圆上运行，它们的公共的焦点在那个最大的物体的中心，且向那个最大的物体所引的半径画出的面积与时间极接近成比例：则那些物体的绝对的力的相互之比或者精确地或者非常接近地按照物体的比；且反之亦然。由命题LXVIII的系理与本命题的系理1比较，这是显然的。

由这些命题我们被引向向心力和那些力惯常指向的中心物体之间的类似。被指向物体的力与这些物体的性质和数量有关是合乎逻辑的，如发生在磁体的情形。且每当这种情形发生，物体的吸引必须这样计算，指派给物体的每一小部分以适当的力，再总计力的和。这里，我在广泛的意义上把“吸引”（attractio）一词用于物体彼此相互靠近的无论什么样的努力，无论那个努力由于物体的作用而发生，或者相互靠近，或者由发射的气（spiritus）相互推动；或者由以太（æther）或者空气，或者任意物质的（corporeus）或者非物质的介质的作用，以任何方式推动漂浮在其中的物体彼此靠近。在同样普遍的意义上，我使用“推动”（impulsus）一词，因为在这一著作中不考虑力的种类和物理性质，而考虑它们的数量和数学上的比例，如同我们在定义中已申明的。在数学上，应追随可能被假设的任意条件，研究那些力的数量和比例。然后，当进入物理学，这些比例必须与现象相比较，以此可以知道那些力的什么条件与每一种类的吸引物体相符。且只是在那个时候，才能更有根据地讨论那些力的物理种类，物理原因和物理比例。所以，让我们看看，其吸引方式由已经说过的小部分构成的球形物体，必须以怎样的力彼此相互作用，以及随之而来的是何种运动。