命题LXVI 定理XXVI

如果三个物体，以按照距离的二次比减小的力相互牵引；且任意两个向着第三个的加速吸引相互之间与距离的平方成反比；且较小的［两个］物体围绕最大的物体运行：我说，里面的物体围绕最里面且最大的物体，在假如最大的物体被这些吸引推动时，与假如那个最大的物体不受较小的物体的吸引而静止，或者受到更小或更大的吸引，或者更小或更大的推动时相比，由里面的物体向最大的物体所引的半径画出的面积与时间更近于成比例，且图形更接近焦点在半径交点的一个椭圆的形状。

由先行命题的系理二的证明这很明显；但是它由如下更明晰和更有说服力的论证所证明。

情形1 设较小的物体P和S在同一平面内围绕最大的物体T运行，P画出内轨道PAB，且S画出外轨道ESE。设SK是物体P和S的平均距离；且物体P向着S的加速吸引在那个平均距离由同一SK表示。按照SK比SP的二次比取SL比SK，则SL为物体P向着S的在任意距离SP的加速吸引。连结PT，平行与它引LM交ST于M；且吸引SL被分解为（由诸定律的系理2）吸引SM，LM。由是物体P由三重的加速力推动。一个力趋向T，且它起源于物体T和P的相互吸引。单独由这个力，物体P围绕无论静止，或者由这个吸引推动的物体T，通过半径PT应画出与时间成比例的面积，以及它的焦点在物体T的中心上的椭圆。这由命题XI以及定理XXI的系理2和系理3显而易见。另一个力是吸引LM，因为它由P趋向T，添加到第一个力上，由于它与PT自身重合，由定理XXI的系理3，使得画出的面积仍与时间成比例。然而，由于它不与距离PT的平方成反比，它与第一个力合成的力偏离这个比例，在其他情况相同时，这个力比第一个力的比愈大，偏离愈大。所以，因为（由命题XI和定理XXI系理2）力，由它围绕焦点T的椭圆被画出，应趋向那个焦点，且应与距离PT的平方成反比；那个合成的力，与这个比例偏离，引起轨道偏离焦点在T的椭圆形；与这个比例的偏离愈大，这个［轨道的偏离］愈大；在其他情况相同时，第二个力LM比第一个力的比愈大，合成的力与这个比例偏离得愈大。现在第三个力SM沿平行于ST的直线牵引物体P，它与前面的力合成的力不再由P指向T；在其他情况相同时，它愈从这个方向偏离，这第三个力比前面的力的比愈大；因此它使物体P由半径TP画出的面积不再与时间成比例；且愈偏离这个比例，第三个力比其他的力的比愈大。这第三个力使轨道PAB从前述的椭圆形的偏离增加有两个原因：它既不由P指向T，又不与距离PT的平方成反比。领悟了这些，显然，当第三个力成为最小，其他力被保持时，面积最接近与时间成比例；又不仅当第二个力，而且第三个力，但特别是第三个力成为最小，第一个力被保持时，轨道PAB最接近前述的椭圆形。

设物体T向着S的加速吸引由直线SN表示；且如果加速吸引SM，SN是相等的，它们沿平行线同等地牵引物体T和P，绝不改变这些物体相互之间的位置。在这种情况，物体之间的运动（由诸定律的系理6）与如果除去这些吸引是相同的。由相同的理由，如果吸引SN小于吸引SM，从吸引SM中去掉部分SN，则单独的部分MN被保持，它摄动时间和面积的比例以及轨道的椭圆形状。类似地，如果吸引SN大于吸引SM，由单独的差MN引起对比例和轨道的摄动。如此上面的第三个吸引SM总被吸引SN约减为吸引MN，第一个和第二个吸引完全不变地被保持：所以当吸引MN或者为零，或者最小可能时，面积和时间最接近成比例，且轨道PAB最接近前述的椭圆形；这就是，当物体P和T向着物体S的加速吸引尽可能接近相等时；亦即，当吸引SN不为零，亦不小于所有吸引SM中的最小者，而在吸引SM的最小者和最大者之间，一如平均值，这就是，既不比吸引SK太大，又不比它太小。此即所证。

情形2 现在设较小的物体P，S围绕最大的物体T在不同的平面内运行；则力LM，沿位于轨道PAM的平面上的直线PT作用，且有如前面一样的效果，不把物体P从它自己的轨道平面逐出。另一个力NM，沿平行于ST的直线作用（且由此，当物体S在交点线（linea nodi）之外时，它向轨道PAB的平面倾斜），除了前面业已说明的运动在经度上的摄动外，它还引起运动在纬度上的摄动，物体P被拉离自己的轨道平面。且这种摄动，对物体P和T彼此之间任意给定的位置，如同那个生成力MN，因此当MN最小时成为最小，这就是（正如刚才我所申明的）当吸引SN既不比吸引SK太大，又不比它太小的时候。此即所证。

系理1 由此容易推知，如果几个较小的物体P，S，R等等，围绕最大的物体T运行，当最大的物体T被其他物体的吸引和推动，按照加速力之比，等于其他物体之间相互的吸引和推动时，最里面的物体P由外面的物体吸引所致的摄动最小。

系理2 至于在三个物体T，P，S的系统中，如果任意两个向着第三个的加速吸引彼此与距离的平方成反比；物体P，由半径PT围绕物体T画出的面积在接近合A和冲B时，较接近方照C，D时迅速。因为每个力，由它物体P被推动且物体T不被推动，不沿直线PT作用，对画出面积的加速或者迟滞，一如力是顺向或者是逆向。如此的是力NM。这个力在物体P从C到A的道路上与运动顺向并加速运动，然后，一直到D，是逆向并迟滞运动；继之顺向直到B，且最后在物体由B到C移动时，与它逆向。

系理3 由同样的论证，显然物体P，其他情况相同时，在合和冲较在方照运动得迅速。

系理4 物体P的轨道，其他情况相同时，在方照较在合和冲更弯曲。因为快速的物体自直线路径弯折得较小。此外，力KL，或者NM，在合和冲与物体T牵引物体P的力反向；因此那个力被减小；当物体P受到向着物体T的较小的推动时，它自直线路径弯折得较小。

系理5 因此物体P，其他情况相同，从物体T的退离在方照较在合和冲更远。这些论断如此，如果排除偏心的运动。因为如果物体P的轨道是偏心的，其偏心率（如即将在本命题系理9中所示的）当拱点在朔望^（29）（syzygiae）时成为最大；且因此会发生物体P到达上拱点，在朔望离物体T较在方照^（30）（quadratura）离得更远。

系理6 因为中心物体T的向心力，由它物体P被保持在自己的轨道上，它在方照由加上的力LM被增大，且在朔望由减去的力KL被减小，又由于力KL的大小，减小较增加为甚；又因为那个向心力（由命题IV系理2）按照来自半径TP的简单正比和循环时间的二次反比的复合比；显然这个复合比由于力KL的作用被减小；且因此循环时间，如果保持轨道的半径TP，按照那个向心力被减小的比的二分之一次比增加；因此这个半径增加或者减小，循环时间按照大于这个半径的二分之三次比增大或者按照小于这个半径的二分之三次比减小（由命题IV系理6）。如果中心物体的那个力逐渐减小，物体P受到的吸引总是越来越小，它从中心T退离得越来越远；且反之，如果那个力被增大，它越来越靠近中心。所以，如果遥远物体S的作用，由它那个力被减小，交替增大或者减小，半径TP同时交替增大或者减小；则循环时间按照来自半径的二分之三次比和那个中心物体T的向心力，由于遥远物体S的作用增大或者减小而减小或者增大的比的二分之一次比的复合比，增大或者减小。

系理7 由前面得出的同样推出，至于由物体P画出的椭圆的轴，或者拱线的角运动，交替地前行和后退，但毕竟前行较大，且由前行的超出携带着顺向运动。因为物体P在方照被推向物体T的力，当力MN消失时，由力LM和物体T牵引物体P的向心力合成。第一个力LM，如果距离PT增加，差不多按照与距离相同的比增加，且后一个力按照距离的二次比减小，因此这些力的和按照小于距离PT的二次比减小，且所以（由命题XLV系理1）引起轨道的最远点^（31）（auge），或者上拱点后退。在合及冲的力，由它物体P被推向物体T，是物体T牵引物体P的力和力KL之间的差，由于力KL很接近地按距离PT的比增大，那个差按照大于距离PT的二次比减小，所以（由命题XLV系理1）引起轨道的最远点的前行。在朔望和方照之间的位置，轨道的最远点的运动依赖这些因素双方的联合，所以由这个因素和那个因素的超出，它自身前行或者后退。由于在朔望的力KL几乎比在方照的力LM大两倍，超出倾向于力KL，轨道的最远点被携带顺行。此系理和上一系理的真理更易于被理解，若设想两个物体T，P的系统由许多在轨道ESE上的物体S，S，S，等等从各个方向所包围。因为物体T的作用在各个方向被这些物体的吸引所削减，且按照大于距离的二次比减小。

系理8 由于在由下拱点到上拱点的路途中，拱点的前行或者后退取决于向心力的减小按照大于或者小于距离TP的二次比；且［由上拱点］返回下拱点时，取决于类似的增加，且所以在上拱点的力比在下拱点的力之比退离距离的二次反比最远时，成为最大；显然，拱点在朔望，由减去的力KL，或者NM－LM，前行更迅速，又在方照，由加上的力LM，后退愈缓慢，由于前进的迅速和后退的缓慢被持续，这一不等性变得非常大。

系理9 如果某个物体，以与离中心距离的平方成反比的力，围绕这个中心在一个椭圆上运行；且此后，在由上拱点或者轨道的最远点向下拱点的下降中，那个力由连续附加的新力，按照大于被减小的距离的二次比被增大，显然，那个物体总被连续附加的新力推向中心，比假如物体单独按被减小的距离的二次比增加的力推动更倾向中心，且所以画出在椭圆轨道内的一个轨道，且在下拱点较前更靠近中心。所以轨道，由于这个附加的新力，变得更为偏心。如果力在物体离开下拱点到上拱点期间，依前面增加的相同程度减小，物体返回到先前的距离；因此，如果力按照更大的比减小，现在物体由于较小的吸引，上升到较大的距离，且由此轨道的偏心率仍被增大。如果在一次运行中向心力的增加和减小的比被增大，则偏心率总被增大；且反之，如果那些比被减小，偏心率同样被减小。现在，在物体T，P，S的系统中，当轨道PAB的拱点在方照时，那个增加和减小的比为最小，且当拱点在朔望时为最大。如果拱点位于方照，靠近拱点时比小于且靠近朔望时大于距离的二次比，且由以那个较大的比引起轨道的最远点的顺向运动，正如刚才所说的。如果考虑在拱点间进程的整个增加或者减小的比，这个比小于距离的二次比。在下拱点的力比在上拱点的力按照小于上拱点离椭圆的焦点的距离比下拱点离椭圆的焦点的距离的二次比；且反之，当拱点在朔望，在下拱点的力比在上拱点的力按照大于那些距离的二次比。因为在方照，物体T的力加上力NM合成的力按照一个较小的比，且在朔望，从物体T的力减去力KL剩余的力按照一个较大的比。所以在拱点之间的路径上的整个增加或者减小的比，在方照最小，在朔望最大；且因此，在拱点由方照到朔望的路径上，比持续增大，且它增大椭圆的偏心率；又在由朔望到方照的路径上，比持续减小且偏心率减小。

系理10 为给出在纬度上误差的解释，我们设想轨道EST的平面保持不动，由上面解释的误差的原因，显然，力NM，ML是引起那些误差的所有原因，力ML总沿轨道PAB的平面作用，不摄动在纬度上的运动；力NM，当交点在朔望时，沿同样的轨道平面作用，不摄动这些运动；当交点在方照时，它对那些运动的摄动最大，且物体P持续被牵引离开自己的轨道平面，在物体自方照到朔望的路径中平面的倾斜减小，在由朔望到方照的路径中倾斜同样地增大。因此物体在朔望时倾斜成为所有倾斜中的最小者，当物体接近另一交点，它回复到接近先前的大小。如果交点在方照后的八分点^（32）（octans），亦即，位于C和A，D和B之间［的八分点］，从最近所解释的可知，在物体P从任一交点到离此九十度的路径上，平面的倾斜持续减小；然后在经过接下来的45度，直到下一个方照，倾斜被增大；且此后在路径上重新经过另一个45度，直到下一个交点，倾斜被减小。所以，倾斜的减小甚于其增加，且因此倾斜在随后的交点总小于在其前的交点。由相同的理由，当交点在A和D，B和C之间的八分点，倾斜的增大甚于其减小。所以当交点在朔望时，倾斜是所有倾斜中的最大者。在交点自朔望到方照的路径中，在每一次物体与交点会合时，倾斜减小；且当交点在方照，物体在朔望时，倾斜成为所有倾斜中的最小者，然后它增加的度数与它减小的度数相同，交点与最靠近的朔望会合时，倾斜回复到它原来的大小。

系理11 因为交点在方照时，在物体由交点C经合A到交点D的路径上，物体P在向着S的方向被持续拉离它自己的轨道平面；在物体由交点D经冲B到交点C的路径上，方向相反。显然，在物体自交点C的运动中，它持续从原来的轨道的平面CD退离，直至下一个交点；且因此在这个交点，距离原来那个平面CD最远，它不在那个平面的另一交点D穿过轨道的平面EST，而在一个与物体S更近的点，此点在原来位置之后成为新的交点。由同样的论证，在物体从这个交点到下一个交点的路径中，交点持续退离。因此交点，当位于方照时，持续退离；位于朔望，当运动在宽纬上丝毫不被摄动，交点静止；在中间位置时，因交点分享两种条件，缓慢地退离：所以，因为交点总是或者后退，或者静止，在每一次运行中被携带着逆行（in antecedentia）。

系理12 在这些系理中所描述的所有那些误差在物体P，S的合，较在它们的冲稍大；这是因为生成力NM和ML较大。

系理13 且因为在这些系理中的比例与物体S的大小无关，当物体S被想象得如此之大，使得两个物体T和P 的系统围绕它运行，前面所有的论断被保持。且由物体S的增大，因而向心力增大，由于它引起物体P的误差，所有那些误差，在等距时，在这种情形变得比另一种情形，即当物体S围绕P和T的系统运行时大。

系理14 由于力NM，ML，当物体S很遥远时，很近似地如同力SK和PT比ST之比的联合，这就是，如果既给定距离PT，又给定物体S的绝对力，与ST_cub.成反比；那些力NM，ML是前面的系理中处理过的误差和效应的原因。显然，所有那些效应，如果物体T和P 的系统被保持，只变化距离ST和物体S的绝对力，近似地按照来自物体S的绝对力的正比和距离ST的三次反比的复合比。由此，如果物体T和P 的系统围绕遥远的物体S运行，那些力NM，ML及它们的效应（由命题IV系理2和系理6）与循环时间的平方成反比。且由此，如果物体S的大小与它的绝对力成比例，则那些力NM，ML及它们的效应与自物体T观看遥远物体S的视直径的立方成正比，且反之亦然。因为这些比与上面的复合比是一样的。

系理15 如果保持轨道ESE和PAB的形状，比例及彼此之间的倾斜角，改变它们的大小，且如果物体S和T的力被保持或者按任意给定的比改变，则这些力（这就是，物体T的力，由它物体P自直线路径弯折进入轨道PAB，以及物体S的力，由它同一物体P被迫从那个轨道偏离）总按同样的方式和同样的比例作用：［如此］必须所有的效应类似且成比例，且效应的时间成比例；这就是，所有直线的误差如同轨道的直径，角的误差与以前一样；且类似的直线误差的或者相等的角误差的时间如同轨道的循环时间。

系理16 因此，如果给定轨道的形状和彼此之间的倾斜，任意改变物体的大小，力和距离，由一种情形所给的误差和误差的时间，能近似地推知在其他任意情形的误差和误差的时间。但下面的方法更简捷。力NM，ML，在其他情况被保持时，如同半径TP，因此对它们的周期性的影响（由引理X系理2）如同力与物体P的循环时间的平方的联合。这些是物体P的直线误差，且自中心T观察到的角误差（亦即，［轨道的］最远点的和交点的运动，以及所有在经度和纬度上的视误差）在物体P的每次运行中，近似地如同运行时间的平方。这些比与系理14中的比联合，则在物体T，P，S的任意系统中，当P围绕较近的T，且T围绕遥远的S运行时，物体P的角误差，从中心T观察，在那个物体P的每次运行中，与物体P的循环时间的平方成正比，且与物体T的循环时间的平方成反比。由此，［轨道的］最远点的平均运动比交点的平均运动按照给定的比；且两运动中的任一个与物体P的循环时间成正比，且与物体T的循环时间的平方成反比。轨道PAB的偏心率和倾斜的增大或者减小不明显地改变［轨道的］最远点的和交点的运动，除非过度的增大或者减小。

系理17 由于直线LM有时大于，有时小于半径PT，设平均力LM用那个半径PT表示，则这个力比平均力SK或者SN（它能用ST表示）如同长度PT比长度ST。平均力SN或者ST，由它物体T被保持在围绕S的轨道上，比一个力，由它物体P被保持在它自己围绕T的轨道上，按照来自半径ST比半径PT之比和物体P围绕T的循环时间比物体T围绕S的循环时间的二次比的复合比。且由错比，平均力LM比一个力，由它物体P被保持在它自己环绕T的轨道上（它能使相同的物体P，在相同的循环时间，围绕任意不动的点T，以距离PT运行）按照那些循环时间的二次比。所以，如果给定循环时间，以及距离PT，则平均力LM被给定；且那个力被给定，由直线PT，MN的类似，力MN亦很近似地被给定。

系理18 对同样的定律，遵照它物体P围绕物体T运行，我们设想许多流体物体围绕同一物体T以离它相等的距离运动；然后由这些物体彼此相连，形成一个圆形的流体环，且与物体T共心；环的每一部分，它们的所有运动按物体P的定律进行，在它们自身与物体S在合和冲较在方照更接近物体T，且运动得更迅速。且这个环的交点，或者它与物体S或者T的轨道的平面的相交部分，在朔望静止；在朔望之外逆行，且在方照最迅速，在其他位置较缓慢。环的倾斜不断变化，且它的轴在每一次运行中振动，完成一次运行时，它返回到原来的位置，除了到那种程度的由交点的进动（præcession）所致的携带绕行。

系理19 现在设想球形物体T，它由非流体的物质构成，增大并伸展直至这个环，且由环绕球开挖的槽盛以水，球围绕自己的轴以相同的循环运动均匀地旋转。这液体由加速力和迟滞力（如同在上一系理中）在朔望较球的表面运动得迅速，在方照较球的表面运动得缓慢，且在槽中如海洋那样潮涨潮落。水，围绕球的静止的中心运行，如果除去物体S的吸引，无以获得潮涨潮落的运动。球均匀地一直向前运动，同时围绕自己的中心旋转（由诸定律的系理5）与球均匀地从其直线路径被拉离（由诸定律的系理6），情况是一样的。但加入物体S，由其不等的吸引，随后水被扰动。因它的吸引对近处的水较大，对远处的水较小。此外，力LM在方照向下牵引水并使它下降直至朔望；且力KL在朔望牵引相同的那些水向上，阻止其下降，并使它上升直至方照；除了某种程度的潮涨潮落运动对准水槽，以及由于摩擦引起的某种迟滞。

系理20 现在如果环变得坚硬，且球被缩小，潮涨和潮落运动将终止；但那个倾斜的振动运动和交点的进动被保持。设球和环有相同的轴，且在相同的时间完成环绕，又球表面接触环的内侧并贴附于它，然后，球参与环的运动，两者的联合体将振动，且交点退行。因为球，正如现在要证明的，在对所有冲击在承受上没有差别。环在失去球之后，当交点在朔望时，倾斜角最大。从那里在交点向方照的前进中，它努力减小其倾斜，由那个努力施加于整个球上一个运动。球保持被施加的运动，直至环由相反的努力并在相反的方向上施加一个新的运动而被除去。按照这种方式，减小倾斜的最大运动发生在交点在方照时，且最小的倾斜角出现在方照后的八分点；然后，最大的下偏运动（rectlinationis motus）发生在朔望，且最大的角在下一个八分点。对除去环的球，情形一样，如果赤道区域稍高于邻近极的区域，或者由稍稠密的物质构成。因为在赤道区域过剩的物质代替了环。且即使任意增加这个球的向心力，假设其所有部分趋向下方，按地球上重物的方式，这个系理和上一系理的现象几乎不变，除了水的最大高度和最小高度的地点不同。现在水被保持和停留在其轨道上，不是由于其自身的离心力，而是它在其中流动的槽。此外，力LM在方照最大地向下牵引水，且力KL或者NM－LM在朔望最大地向上牵引水。这些力合起来在朔望前的八分点停止向下并开始向上牵引水，在朔望后的八分点停止向上并开始向下牵引水。因此，水的最大高度约发生在朔望之后的八分点，最小高度约发生在方照之后的八分点；除了某种程度的由这些力施加在水上的上升和下降运动，或者由于水的惰性而持续稍久，或者由于槽的阻碍而停止得稍快。

系理21 由同样的理由，临近球的赤道的过剩物质引起交点后退，增加这些物质，后退增加，减少这些物质，后退减小，移去这些物质，［交点的运动］被除去；如果多于过剩的物质被除去，这就是，如果球的赤道附近比两极附近或者较低，或者较疏松，则引起交点的顺向运动。

系理22 且因此，从交点的运动亦可以知道球的构造。即是，如果球的两极恒定保持原样，且发生交点的逆向运动，则靠近赤道的物质过剩；若顺向运动，则物质缺失。假定一均匀浑圆的球初始在自由的空间中静止；然后受到倾斜于其表面的任意冲击的推进，并由此得到部分为圆形的部分为一直向前的一个运动。因为这个球对通过其中心的所有轴没有差别，对一个轴，较其他任意的轴，既不更倾向于它，亦不更倾向于轴的一个位置；很清楚，球自身的力不改变它的轴，亦不改变轴的倾斜。现在在球的表面与前面相同的地方被一新的任意冲击倾斜地推进，且由于冲击到来的早晚丝毫不改变其效果，显然，由这些相继施加的两次冲击产生相同的运动，好像它们是同时施加的，亦即，好像球由两者合成的（由诸定律的系理II）简单力推进产生的相同运动，因此是一围绕倾斜角给定的轴的简单的运动。如果第二次冲击施加在第一个运动的赤道上的任意位置，情况一样；也如同假定第一次冲击施加在第二次冲击在没有第一次冲击时产生的运动的赤道上的任意位置，因此，二次冲击发生在任何位置，这些冲击产生相同的圆运动，好像它们一起，并同时施加在那些运动的赤道的相交部分，运动由冲击分别产生。所以，一个同质的和浑圆的球不能保持几个不同的运动，而是复合那些施加于其上的运动并约减为一个，并尽它的力量，总围绕一条倾斜角给定且总不变的轴做均匀和简单的旋转运动。向心力既不能改变轴的倾斜，又不能改变旋转的速度。如果球被通过它的中心以及力指向的中心的任意平面平分为两个半球；那个力总是相等地推动两个半球，所以球旋转运动，不向任何方向倾斜。但是假设在极和赤道之间增加新物质，堆积成山的形状，这些物质持续退离它的运动中心的努力干扰球的运动，并使球的极在其表面漫游，并围绕它们自身和它们相对的点画出圆。极的这一显著的漫游（vagatio）不能被纠正，除非把这座山放在两极中的一极，在这种情形（由系理21）赤道的交点前进；或者放在赤道，在这种情形（由系理20）交点后退；或者最后在轴的另一侧增加新物质，由它平衡山的运动，按这种方式，交点或者前进或者后退，一如山和这些新物质更靠近极或者更靠近赤道。