命题LVIII 定理XXI

如果两个物体以任意的力互相牵引，且在此期间它们围绕重力的公共的中心运行：我说，图形，它由如此运动着的物体相互围绕画出，与一个图形相似且相等，它能由一个物体以同样的力围绕二者中另一个不动的物体画出。

设物体S，P围绕［它们的］ 重力的公共的中心C运行，由S向T以及由P向Q前进。由一给定的点s引总与 SP，TQ相等且平行的sp，sq；又曲线pqv，它由点p围绕不动点s旋转画出，与由物体S，P相互围绕画出的曲线相似且相等；且所以（由定理XX）相似于曲线ST和PQV，它们由相同的物体围绕重力的公共的中心C画出；这是因为直线SC，CP与SP或者sp彼此之比被给定。

情形1 由诸定律的系理四，那个重力的公共的中心C，或者静止，或者一直向前均匀地运动。我们首先假设它静止，两个物体位于s和p，不动的位于s，运动的位于p，与物体S和P相似且相等。此后设直线PR和pr与曲线PQ和pq相切于P和p，且延长CQ和sq至R和r。又由于图形CPRQ，sprq相似，RQ比rq如同CP比sp，且因此按照给定的比。因此如果力，由它物体P被向着物体S，因此向着居间的中心C牵引，比一个力，由它物体p被向着中心s牵引，按照那个相同的给定的比；这些力在相等的时间总牵引物体离开切线PR，pr，经过与它们成比例的间隔RQ，rq到达弧PQ，pq，且由是后一个力的作用使物体p在曲线pqv上运行，它相似于曲线PQV，前一个力的作用使物体P在其上运行；且运行在相同的时间完成。由于那些力彼此之比并不按照CP比sp之比，而是（由于物体S和s，P和p相似且相等，又距离SP，sp相等）彼此相等；物体在相等的时间被相等地拉离切线；且所以，由于后一物体p被拉离［切线］经过较长的间隔rq，所需时间较长，它按照间隔的二分之一次比；因为（由引理十）运动开始时所画的空间按照时间的二次比。所以，假设物体p的速度比物体P的速度，按照距离sp比距离CP的二分之一次比，因此弧pq，PQ，它们按照一个整比，能在按照相同的二分之一次比的时间内被画出：物体P，p总被相等的力吸引，围绕不动的中心C和s画出相似的图形PQV，pqv，其中后一图形pqv与一个图形相似且相等，它由物体P围绕运动的物体S画出。此即所证。

情形2 现在我们假设重力的公共的中心与物体在其中相互运动的空间一起均匀地向前运动；又（由诸定理的系理六）在这个空间发生的一切运动如前，且因此物体彼此相互围绕画出的图形如前，所以与图形pqv相似且相等。此即所证。

系理1 因此，两个物体以与它们的距离成比例的力互相牵引，画出（由命题X）既围绕重力的公共的中心，又相互围绕的同中心的椭圆：且反之亦然，如果这样的图形被画出，则力与距离成比例。

系理2 且两个物体，力与它们的距离的平方成反比，画出（由命题XI，XII，XIII）既围绕重力的公共的中心，又相互围绕的圆锥截线，它们的焦点在图形被画出时所围绕的中心上。且反之亦然，如果这样的图形被画出，则向心力与距离的平方成反比。

系理3 任意两个物体围绕重力的公共的中心沿轨道运行，向那个中心并相互引半径，画出的面积与时间成比例。