命题LVI 问题XXXVII

许可曲线图形的求积，且既给定趋向给定中心的向心力的定律，又给定它的轴穿过那个中心的曲面；需求轨道，当物体在那个曲面上从给定的位置，以给定的速度沿给定的方向离去时，在同一曲面上画出。

保持上一命题的作图，设物体T从给定的位置S沿在需求的轨道STR上位置给定的直线离去，在平面BLO上它的射影是AP。且由物体在高度SC上的给定的速度，在任意其他高度TC上它的速度被给定。以此速度物体在给定的极短时间画出轨道自身的一个小部分Tt，设它的射影Pp在平面AOP上被画出。连结Op，且以T为中心，Tt为间隔在曲面上所画的小圆在平面AOP上的射影为椭圆pQ。又由于小圆的大小Tt给定，它离轴CO的距离TN或者PO亦给定，那个椭圆的种类和大小亦被给定，正如它相对于直线PO的位置。又因为面积Pop与时间成比例，因此由给定的时间而被给定，角POp亦被给定。且因此椭圆和直线Op的公共的相交部分p被给定，同时轨道的射影APp截直线OP的角OPp被给定。由此（比较命题XLI与它的系理2）确定曲线APp的方式显然可见。然后由每个射影点P，往平面AOP竖立垂线PT交曲面于T，轨道上的每个点T被给定。此即所求。