命题LV 定理XIX

如果物体在任意的曲面上运动，它的轴穿过力的中心，并从物体向轴上落下垂线，再从轴上任意给定的点引等于垂线的平行线：我说那条平行线画出的面积与时间成比例。

设BKL为一曲面，物体T在它上面运行，STR为一条轨道，它由物体在同一曲面上画出，轨道始于S，OMK为曲面的轴，直线NT自物体垂直于轴，自点O所引的［直线］OP平行且等于它，点O在轴上被给定；轨道的射影（vestigium）AP由旋转的线OP上的点P在平面AOP上画出；射影的开端A对应于点S；TC是自物体向中心引的直线；它的部分TG与向心力成比例，由这一向心力物体被推向中心C；直线TM垂直于曲面；它的部分TI与压力成比例，物体以它推这曲面，物体亦被曲面推向M；直线PTF平行于轴且穿过物体，再自点G和I落下垂直于那条平行线PHTF的直线GF，IH。现在，我说，面积AOP，它由半径OP自运动开始起画出，与时间成比例。因为力TG（由诸定律的系理Ⅱ）被分解为力TF，FG；且力TI分解为力TH，HI；但是力TF，TH沿垂直于平面AOP的直线PF作用于物体，对物体运动的改变仅在与这个平面垂直的方向上。因此，它的运动只限于沿平面的位置发生时；这就是，点P的运动，由它轨道在这个平面上的射影被画出，与如同力TF，TH被除去一样，且物体只受力FG，HI的推动，这就是，与如同物体在平面AOP上，向心力趋向中心O且等于力FG和HI的合力，画出曲线AP一样。但被这样的力画出的面积AOP（由命题I）与时间成比例。此即所证。

系理 由同样的论证，如果一个物体，由趋向在任意给定的同一直线CO上的两个或者多个中心的力推动，在自由空间画出任意的曲线ST；面积AOP总与时间成比例。