命题LIII 问题XXXV

许可曲线图形的求积，需求力，由它们物体在给定的曲线上所做的振动总是等时的。

设物体T在任意［曲］线STRQ上振动，它的轴是从力的中心C穿过的AR。引TX，它与那条曲线相切于物体所在的任意位置T，且在这条切线TX上取TY等于弧TR。因为那条弧的长度从图形的求积，由通常的方法可以知道。由点Y引直线YZ垂直于切线。引CT交那条垂线于Z，则向心力与直线TZ成比例。此即所求。

因为如果力，物体被它从T向C牵引，由取得与它成比例的直线TZ表示，这个力被分解为力TY，YZ；它们中的YZ沿细线PT的长度［方向］牵引物体，丝毫不改变它的运动，但另一个力TY直接地加速或者直接地迟滞在曲线STRQ上的它的运动。所以，由于这个力如同要画出的路径TR，在画出两个成比例的［一个较大的和一个较小的］部分的振动中的加速或者迟滞，总如同那些部分，且所以使得那些部分同时被画出。但物体，它们同时画出总与整体成比例的部分，也将同时画出整体。此即所证。

系理1 因此，如果物体T，它悬挂在始自中心A的笔直的细线AT上，画出圆弧STRQ，且在此期间沿向下的平行线它受某个力的推动，这个力比均匀的重力，如同弧TR比它的正弦TN：则每一振动的时间相等。因为，由于TZ，AR平行，三角形ATN，ZTY是相似的；且所以TZ比AT如同TY比TN；这就是，如果均匀的重力由给定的长度AT表示；力TZ，由它振动成为等时的，比重力AT，如同等于TY的弧TR比那个弧的正弦TN。

系理2 且所以在时钟中，如果力由机械施加于摆以维持运动，它与重力如此复合使得向下的整个力总如同一条直线，它由弧TR和半径AR之下的矩形除以正弦TN产生，则所有的振动是等时的。