命题LII 问题XXXIV

确定摆在各个位置的速度，和时间，在此期间整个振动以及各个振动部分被完成。

以任意的中心G，等于旋轮线的弧RS的间隔画被半直径GK平分的半圆HKM。且如果向心力，它与位置离中心的距离成比例，趋向中心G，在圆周HIK上的向心力等于在球QOS的圆周上趋向它自己的中心的向心力；又在摆从最高位置S离去的同时，另一物体L自H向G坠落。因为力，它们在开始时推动物体，是相等的，且与将要画出的空间总成比例，由此，如果TR和LG相等，在位置T和L的力相等；显然那些物体在开始时画出相等的空间ST，HL，于是此后受到相等的推动，并画出相等的空间。所以（由命题XXXVIII）时间，在此期间物体画出弧ST，比一次振动的时间，如同弧HI，物体H前进到L的时间，比半圆周HKM，物体H前进到M的时间。又摆的物体在位置T的速度比它自己在最低位置R的速度，（这就是，物体H在位置L的速度比它自己在位置G的速度，或者线HL的瞬时增量比线HG的瞬时增量。而弧HI，HK以均匀的流^（27）（fluxus）增加）如同纵标线LI比半径GK，或者如同 比SR。由此，因为在不等的振动中，相等时间所画出的弧与振动的整个弧成比例，从给定的时间，可普遍地得到在振动中的速度和所画出的弧。这就是首先要找的。

现在设摆的物体在不同的球内所画出的不同的旋轮线上振动，它们的绝对力也不相同。又，如果任意球QOS的绝对力被称为V，加速力，由它在这个球的圆周上的摆被推动，当它开始直接朝向球的中心运动时，如同摆的物体离那个中心的距离和球的绝对力的联合，这就是，如同CO×V。因此短线HY，它如同这个加速力，在给定的时间被画出；而且，如果竖立成直角的YZ交圆周于Z，初生成的弧HZ表示那个给定的时间。但是这条初生成的弧HZ按照矩形GHY的二分之一次比，且因此如同 。所以在旋轮线QRS上一次完整振动的时间（因为它与半圆周HKM成正比，半圆周HKM表示那个完整的振动，且与弧HZ成反比，弧HZ类似地表示给定的时间）与GH成正比且与 成反比，这就是，由于GH与SR相等，如同√ ，或者（由命题L的系理）如同√ 。所以，在所有球和旋轮线的振动中，无论什么绝对力使然，它们按照来自细线的长度的二分之一次正比，和悬挂点与球的中心之间的距离的平方根的反比，以及球的绝对力的二分之一次反比的复合比。此即所求。

系理1 因此也可以相互比较物体振动、下落和环绕的时间。因为，如果轮子，由它球内旋轮线被画出，其直径被指定等于球的半直径，旋轮线变成穿过球的中心的直线，且现在振动是在这条直线上的下降和接着的上升。因此不仅从任意位置下降到中心的时间被给定，而且等于它的时间亦被给定，在此期间物体以任意距离围绕球的中心均匀地运行，画出四分之一圆的弧。因为这段时间（由第二种情形）比在任意旋轮线QRS上的半振动的时间，如同1比√ 。

系理2 因此也可获得雷恩和惠更斯关于普通旋轮线的发现。因为如果球的直径被增大以至无穷，它的球面变为平面，向心力沿垂直于这个平面的直线均匀地推动物体，且我们的旋轮线变为普通的旋轮线。在这种情形，旋轮线的弧的长度，它在那个平面和正画出的点之间，等于四倍的轮子在同一平面和正画出的点之间的弧的一半的正矢；正如雷恩所发现的。且在两条此类的旋轮线之间的摆在相似且相等的旋轮线上等时地振动，正如惠更斯所证明的。而且重物在一次振动时间的下落是惠更斯曾指出的。

但是，由我们证明的命题适合地球的真实情况，因为轮子在她的最大圆上行进，插入轮子边缘的钉子的运动画出球外旋轮线；摆悬挂在地下的矿井和洞中，它必须在球内旋轮线上振动，使得所有的振动成为等时的。因为重力（正如将要在第三卷中证明的）在离开地球的表面前进时的减小，事实上向上时按照离地球的中心的距离的二次比，但是向下时按照［离地球的中心的距离的］简单比。