命题LI 定理XVIII

如果向心力从各个方向趋向一个球的中心C，在每个位置如同这个位置离中心的距离，且只有这个力推动物体T在旋轮线QRS的边缘上振动（按刚才所描述的方式）：我说无论振动如何不等，［振动］时间是相等的。

因为设在旋轮线的无限延长的切线TW上落下垂线CX，并连结CT。因为向心力，由它物体T被推向C，如同距离CT，设这个力（由诸定律的系理II）被分解为分量CX，TX，其中的CX通过自P直接地推动物体而伸展细线PT，由于线的抵抗而完全中止，不产生其他效果；但另一分量TX，横向或者向X推动物体，物体在旋轮线上的运动直接被加速；显然物体的加速度，它与加速力成比例，在每一时刻如同长度TX，亦即，由于CV，WV给定，且TX，TW与它们成比例，如同长度TW，这就是（由命题XLIX系理1）如同旋轮线的弧TR的长度。所以，两个摆APT，Apt被不等地引离垂线AR并同时放开，它们的加速度总如同待要画出的弧TR，tR。但在运动开始时所画出的部分如同加速度，这就是，如同在开始时待要画出的总的弧，且所以等候画出的部分以及尾随的加速度，与这些部分成比例，因此同样如同整个的弧；且如此继续。所以，加速度，因此产生的速度和以这些速度画出的部分，以及待要画出的部分，总如同整个弧；且所以待要画出的弧保持彼此之间的给定的比，并同时消失，亦即，两个振动物体同时到达垂线AR。又因为，另一方面，摆从最低点R上升，由同样的旋轮线弧做后退的运动，在每个位置被同样的力所迟滞，由它们物体在下降时被加速，显然，它们通过同样的弧上升和下降的速度是相等的，且因此在相等的时间发生；所以，由于位于垂线两侧的两个旋轮线的部分RS，RQ相似且相等，两个摆总在相等的时间完成全振动以及半振动。此即所证。

系理 力，由它物体T在旋转线上任意的位置T被加速或者迟滞，比在最高位置S或者Q处同一物体的整个重量，如同旋轮线的弧TR比它的弧SR或者QR。