命题L 问题XXXIII

使一个摆的物体在一条给定的旋轮线上振动。

在以C为中心画出的球QVS内，设被给定的旋轮线QRS平分于R且它的端点Q和S在两侧与球面相交。引CR平分弧QS于O，且延长它至A，使得CA比CO如同CO比CR。以C为中心，CA为间隔画外球DAF，且在这个球内由一只轮子，它的直径为AO，画出两条半旋轮线AQ，AS，它们与内球在Q和S相切并与外球在A相交。由那个点A，以长度等于AR的细线APT悬挂物体T，且它如此在半旋轮线AQ，AS之间振动，每次摆离开垂线AR，细线的上面部分AP贴附在运动朝向的那条半旋轮线APS上，且围绕着它弯曲如绕阻碍，又细线的其余部分PT没有被半旋轮线阻碍伸展成直线；则重物T在给定的旋轮线QRS上振动。此即所作。

因为设细线PT既与旋轮线QRS交于T，又与圆QOS交于V，再引［直线］CV；且对细线的直线部分PT，自端点P和T竖立垂线BP，TW，交直线CV于B和W。显然，从作图和相似图形AS，SR的生成，那些垂线PB，TW从CV上截下的长度VB，VW等于轮子的直径OA，OR。所以TP比VP（它是角VBP的正弦的二倍，以 BV作为半径）如同BW比BV，或者AO+OR比AO，亦即（因CA比CO，CO比CR，由分比，与AO比OR成比例）如同CA+CO比CA，或者，如果BV被平分于E，如同2CE比CB。因此（由命题XLIX系理1）细线的直线部分PT的长度总等于旋轮线的弧PS，且整条细线APT总等于旋轮线的半弧APS，这就是（由命题XLIX系理2）长度AR。且所以，反之，如果细线之长总保持与长度AR相等，点T在给定的旋轮线QRS上运动。此即所证。

系理 细线AR等于半旋轮线AS，且因此比外球的半直径AC所具有的比与相似的那条半旋轮线SR比内球的半直径CO所具有的比相同。