命题XLIX 定理XVII

如果一只轮子立于一个凹球的内表面并与此面成直角，且它在［球面的］一个最大圆上滚动着前进；曲线的长度，它由轮子边缘上任意给定的一点从该点与球接触时起做出，比一段弧的一半的正矢的二倍，球在轮子前进的整个时间接触它，如同球的和轮子的直径之差比球的半直径。

设ABL为球，C为它的中心，轮子BPV站立在它之上，E为轮子的中心，B为切点，且给定点P在轮子的边缘。想象这只轮子在最大圆ABL上自A经B向L前进，在它的前进期间滚动使得弧AB，PB彼此总相等，且那个在轮子边缘给定的点P在此期间画出曲线路径AP。设AP是自轮子在A接触球之后画出的整个曲线路径，则这条路径AP的长度比弧 PB的正矢的二倍，如同2CE比CB。因直线CE（如果需要就延长之）交轮子于V，又连结CP，BP，EP，VP，且在CP的延长上落下成直角的VF。设切圆于P和V的PH，VH交于H，又PH截VF于G，再往VP上落下成直角的GI，HK。以同样的中心C和任意间隔画圆nom截直线CP于n，轮子的边缘BP于o，又截曲线路径AP于m；又以中心V和间隔Vo画圆截VP的延长于q。

因为轮子在前进中总围绕切点B滚动，显然直线BP垂直于那条曲线AP，它由轮子上的点P画出，因此直线VP与这条曲线在点P相切。逐渐地增大或者减小圆nom的半径并最终使它等于距离CP；由于正消失的图形Pnomq与图形PFGVI相似，正消失的短线Pm，Pn，Po，Pq的最终比，亦即，曲线AP，直线CP，圆弧BP，以及直线VP瞬时变化率，分别与直线PV，PF，PG，PI的相同。但由于VF与CF且VH与 CV垂直，所以角HVG，VCF相等；又角VHG（由于四边形HVED在V和P是直角）等于角CEP，三角形VHG，CEP相似；且由此得出EP比CE如同HG比HV或者HP且如同KI比KP，又由合比或者分比，CB比CE如同PI比PK，后项加倍得CB比2CE如同PI比PV，且如同Pq比Pm。所以直线VP的减量，亦即，直线BV－VP的增量比曲线AP的增量按照给定的比CB比2CE，且所以（由引理IV的系理）长度BV－VP和AP，它们被那些增量生成，按照相同的比。但是，以BV作为半径，VP为角BVP或者 BEP的余弦，且因此BV－VP是同一个角的正矢：所以在这个轮子上，它的半径为 BV，BV－VP是弧 BP的正矢的二倍。所以，AP比弧 BP的正矢的二倍如同2CE比CB。此即所证。

为了区别起见，我们称前一个命题中的线AP为球外旋轮线，后一命题中的另一线为球内旋轮线。

系理1 因此，如果整个旋轮线ASL被画出且在S被平分，则部分PS的长度比长度VP（它是角VBP的正弦的两倍，以EB作为半径）如同2CE比CB，因此按照给定的比。

系理2 且旋轮线的半周长AS等于一条直线，它比轮子的直径BV如同2CE比CB。