命题XLVII 定理XL

假设向心力与物体离一个中心的距离成比例；则在任意平面上无论怎样运行的所有物体都将画出椭圆，且完成运行的时间相等；又，在直线上运动的那些物体来回奔跑，各自往复的循环在相同的时间完成。

因为，保持上一命题的所有情形，力SV，由它在任意平面PQR上运行的物体Q被拉向中心S，如同距离SQ；且因此，由于SV和SQ，TV和CQ成比例，力TV，由它在给定轨道平面上的物体被拉向点C，如同距离CQ。所以力，由它位于平面PQR上的物体被拉向点C，按照距离的比等于一个力，由它物体从各个方向被拉向中心S；所以在相同的时间，物体在相同的图形，在任意平面PQR围绕点C运动，一如它们在自由空间中围绕中心S运动；且因此（由命题X系理2和命题XXXVIII系理2）总在相等的时间，无论它们在那个平面上围绕中心C画出椭圆，或者在那个平面上在过中心C所引的直线上完成循环的往复运动。此即所证。

物体在曲面上的上升和下降与这些［我们刚讨论过的运动］密切相关。设想在一个平面上画出的曲线，然后它们围绕任意穿过力的中心的给定轴转动，且由这一转动画出曲面；物体如此运动，使得它们的中心总在这些曲面上被发现。如果那些物体倾斜地上升和下降，往返奔跑；它们的运动在穿过轴的平面上进行，因此在曲线上进行，由曲线的转动产生了那些曲面。所以在这些情形，考虑在那些曲线上的运动就够了。