命题XLVI 问题XXXII

假设一种任意种类的向心力，且既给定力的中心又给定一个平面，物体在其上任意地运行，再者许可曲线图形的求积：需求从给定的一个点，以给定的一个速度，沿在那个平面上的一条给定的直线离去的物体的运动。

设S为力的中心，SC为这个中心离给定的平面的最小距离，物体P从位置P沿直线PZ离去，同一物体Q在自己的轨道上运行，且那个轨道PQR为应求的在给定平面上画出的轨道。连结CQ，QS，且如果在QS上取SV与向心力成比例，由它物体被拉向中心S，并引VT平行于CQ且交SC于T：力SV被分解（由诸定律的系理II）为力ST，TV；它们中的ST沿垂直于平面的直线拉物体，一点也不改变在这个平面上它的运动。但另一个力TV，沿位置给定的平面作用，物体在给定的平面上直接地被拉向点C，使得那个物体在这个平面上如此运动，好像力ST被除去，且物体仅由力VT在自由空间中围绕中心C运行。但向心力TV给定，由它物体Q在自由空间中围绕给定的中心C运行，不但轨道PQR（由命题XLII）被给定，它由物体画出，而且位置Q被给定，在那里物体在任意给定的时间将被发现，最后在那个位置Q物体的速度被给定；且反之亦然。此即所求。