命题XLI 问题XXVIII

假设一种任意类型的向心力并且许可曲线图形的求积，既要求物体在其上运动的轨道，又要求在找到的轨道上的运动时间。

设任意的向心力趋向中心C，且要求的轨道为VIKk。以中心C，任意间隔CA所画的圆VR被给定，以相同的中心画另外的任意圆ID，KE截轨道于I和K，直线CV于D和E。作直线CINX截圆KE，VR于N和X，又引直线CKY交圆VR于Y。设点I和K彼此非常靠近，且物体自V经I和K向k前进；又设点A为那个位置，另一物体应从那里下落，使得它在位置D获得前一物体在位置I的速度。保持在命题XXXIX中的内容，短线IK，它在给定的极短的时间被画出，如同速度，因此如同能作成面积ABFD的直线，再者与时间成比例的三角形ICK被给定，由是KN与高度IC成反比，亦即，如果另一个量Q被给定，高度IC被称为A，如同Q/A。我们称这个量Q/A为Z，且假设Q的大小使得在某一情形√ ABFD比Z如同IK比KN，则在所有情形√ ABFD比Z如同IK比KN，而ABFD比ZZ如同IK_q比KN_q，由分比ABFD－ZZ比ZZ如同IN_quad.比KN_quad.，且因此 -ZZ比Z或者Q/A如同IN比KN，且所以A×KN等于 。因此，由于YX×XC比A×KN如同CX_q比AA，矩形XY×XC等于 。所以，如果 在垂线DF上总取Db，Dc分别等于 ， ，并画出曲线ac，ac，点b，c持续触及曲线；自点V向直线AC竖立垂线Va割下曲线形的面积VDba，VDca，又竖立纵标线Ez，Ex；因为矩形Db×IN或者DbzE等于矩形A×KN的一半或者三角形ICK；又矩形Dc×IN或者DcxE等于矩形YX×XC的一半或者三角形XCY；这就是，因为面积VDba，VIC的初生成的小部分DbzE，ICK总相等；面积VDca，VCX的初生成的小部分DcxE，XCY总相等，生成的面积VDba等于生成的面积VIC，且因此与时间成比例，又，生成的面积VDca等于生成的扇形VCX。所以给定物体自离开位置V的任意时间，与它成比例的面积VDba被给定，且因此物体的高度CD或者CI被给定；再者，面积VDca，以及等于它的扇形VCX连同它的角VCI被给定。但是给定角VCI和高度CI，位置I被给定，在那段时间结束时物体在那里被发现。此即所求。

系理1 因此，物体的最大及最小高度，亦即轨道的拱点可便捷地找到。因为拱点是那些落在过中心所引的垂直于轨道VIK的直线IC上的点；这发生在直线IK和NK相等时，因此发生在当面积ABFD等于ZZ时。

系理2 且角KIN，轨道在任意地方以它与直线IC相截，由物体的给定高度IC可便捷地找到；即是取它的正弦比半径如同KN比IK，亦即，如同Z比面积ABFD的平方根。

系理3 如果以中心C和主顶点V画出任意的圆锥截线VRS，且由它的任意一点R引切线RT交无限延长的轴CV于点T；然后连结CR，引直线CP，它等于横标线CT，作与扇形VCR成比例的角VCP；如果趋向中心C的向心力与位置离中心的距离的立方成反比，物体以适当的速度沿垂直于CV的直线离开位置V，那个物体将在轨道VPQ上前进，点P持续触及轨道；且因此如果圆锥截线VRS是双曲线，物体向中心下降；若不然，它为椭圆，那个物体持续不断上升并远离以至无穷。且反之，如果物体以任意速度离开位置V，一如它开始时或者倾斜地落向中心或者离开中心倾斜上升，图形VRS或者为双曲线，或者为椭圆，轨道可通过按照某一给定的比增大或者减小角VCP得到。但是，当向心力变为离心力，物体将在轨道VPQ上倾斜地上升，它可由取角VCP与椭圆扇形VRC成比例，以及长度CP等于长度CT得到，如同上面。所有这些，由前述命题，可通过特定曲线的求积得到，其求甚易，为简明计，我省略了。