命题XL 问题XIII

如果一个物体，它在任意向心力的作用下，无论怎样运动，且另一物体直线上升或者下降，又若在某一高度相等的情形它们的速度相等，则在所有相等的高度它们的速度相等。

设某一物体自A经D，E向中心C下落，且另一物体自V沿曲线VIKk运动。以C为中心，任意间隔画同心圆DI，EK，交直线AC于D和E，且交曲线VIK于I和K。连结IC交KE于N，又在IK上落下垂线NT；再设圆周的间隔DE或者IN极小，且物体在D和I有相等的速度。因为距离CD，CI相等，在D和I的向心力相等。这些力用相等的短线DE，IN表示；且如果单个力IN（由诸定律的系理II）被分解为两个力NT和IT，力NT沿与物体的路径ITK垂直的直线NT作用，绝不改变物体在那个路径上的速度，但是只把物体拉离直线路径，使物体持续从轨道的切线偏转，并沿曲线路径ITKk前进。那个力完全用于产生这种作用；另一个力IT沿物体的路径作用，完全用于加速，在给定的极短时间内产生的加速度与自身成比例。因此在相等的时间物体在D和I所引起的加速度（如果取初生成的直线DE，IN，IK，IT，NT的最初比）如同DE，IT；但在不相等的时间它们如同那些线和时间的联合。但是时间，在此期间DE和IK被画出，由于速度相等，如同画出的路径DE和IK，且因此加速度，当物体经过线DE和IK时，如同DE和IT，DE和IK的联合，亦即如同DE_quad.和矩形IT×TK。但矩形IT×TK等于IN的正方形，这就是，等于DE_quad.，所以物体在由D和I到E和K的路径上产生的加速度相等。因此物体在E和K的速度相等。又由同样的论证，在其后相等的距离总遇到相等的［速度］。此即所证。

但是又由同样的论证，物体离中心的距离相等且等速，在升高到相同的距离时受到相等的迟滞。此即所证。

系理1 因此，如果一个物体无论是悬在线上做振动或者被极为平顺和完美润滑的阻碍保持在曲线上运动，另一个物体直线上升或者下降，且如果它们的速度在某相同的高度相等：则它们的速度在其他任意相等的高度相等。因为悬挂物体的线或者极润滑的容器的阻碍产生与横向力NT相同的作用。物体既不被它们迟滞也不被它们加速，而只是被迫离开直线路径。

系理2 因此，如果量P为离中心的最大距离，对于它无论振动或者在任意轨道上运行的物体，在轨道上的任意一点以它所具有的速度向上抛射时能上升到［这个距离］；且量A为轨道上另外任意一点离中心的距离，向心力总如同A的任意次幂A^n－1，其指数n－1是任意数n减小1；则物体在每一高度A的速度如同 ，因此被给定。因为（由命题XXXIX）［物体］直线上升和下降的速度按照这个比。