命题XXXIX 问题XXVII

假设任意种类的向心力，并且许可曲线图形的求积^（24）（quadratura）；需求直线上升或者下降的物体在每个位置的速度，以及时间，在此期间物体到达任意一个位置；并求逆问题。

设物体E由任意位置A在直线ADEC上下落，又由它的位置E总竖立垂线EG，与在那个位置与趋向中心C的向心力成比例：BFG为一条曲线，点G持续触及它。且在运动开始时EG与垂线AB重合，则物体在任意位置E的速度如同一条直线，它能作成曲线形的面积^（25）（quæ potest aream curvilineam）ABGE。此即所求。

在EG上取直线EM，它能作成与面积ABGE成反比的面积，VLM为一条曲线，点M持续触及它，且它的渐近线为AB的延长；则时间，在此期间下落物体画出直线AE，如同曲线形的面积ABTVME。此即所求。

因为在直线AE上取给定长度的极短的线DE，且当物体曾经在D时，设DLF是直线EMG的位置；然后，如果向心力，使能作成面积ABGE的直线如同下落速度：则面积自身按照速度的二次比，亦即，如果在D和E的速度被写作V和V+I，则面积ABFD如同VV，且面积ABGE如同VV+2VI+II，由分比（divisim），面积DFGE如同2VI+II，且因此（DFGE）/（DE）如同[（2VI）+（II）]/（DE），亦即，如果取初生成的量的最初比，则长度DF如同量（2VI）/（DE），因此亦如同此量之半（I×V）/（DE）。但是时间，在此期间下落物体画出短线DE，与那条短线成正比，且与速度V成反比，又，力与速度的增量I成正比且与时间成反比，且因此如果取初生成的量的最初比，如同I×VDE，这就是，如同长度DF。所以，与DF或者EG成比例的一个力使物体的以一个速度下落，它如同能作成面积ABGE的直线。此即所证。

此外，由于时间，在此期间任意给定长度的短线DE被画出，与速度成反比，且因此反比于能作成面积ABFD的直线；又DL，且因此初生成的面积DLME，与同一直线成反比：时间如同面积DLME，且所有时间的和如同所有面积的和，这就是，（由引理IV的系理）整个时间，在此期间直线AE被画出，如同整个面积ATVME。此即所证。

系理1 如果设P为一个位置，物体应由此下落，在某一均匀的已知的向心力（如通常假设的重力）推动下它在位置D获得的速度等于一个速度，它能由另一物体在同一位置D获得，无论它由何种力下落，且在垂线DF上取DR，它比DF如同那个均匀的力比在位置D的另一个力，再补足矩形PDRQ，并割下面积ABFD等于它；则A为另一物体下落的位置。因为补足矩形DRSE，由于面积ABFD比面积DFGE如同VV比2VI，且因此如同 V比I，亦即，如同整个速度的一半比物体由不等的力下落时速度的增量；并且类似地，面积PQRD比面积DRSE如同整个速度的一半比物体由均匀的力下落时速度的增量；且那些增量（由于在相等的时间生成）如同产生它们的力，亦即，如同纵标线DF，DR，且因此如同初生成的面积DFGE，DRSE；由错比，总面积ABFD，PQRD彼此如同整个速度的一半，由于速度相等，所以面积相等。

系理2 因此，如果任意一个物体由任意的位置D以给定的速度向上或者向下被抛射，且向心力的定律被给定，在其他任意一个位置e它的速度被发现：竖立纵标线eg，并取那个速度比在位置D的速度，如同直线，或者由它能作成矩形PQRD增加了曲线形的面积DFge，如果位置e低于位置D；或者矩形PQRD减少了曲线形的面积DFge，如果位置e高于位置D；比一条直线，由它只能作成矩形PQRD。

系理3 时间亦可由竖立与PQRD+或者－Dfge的平方根成反比的纵标线em得知，且取时间，在此期间物体画出直线De，比一段时间，在此期间另一物体由一均匀的力从P下落到达D，如同曲线形的面积DLme比矩形2PD×DL。因为时间，在此期间物体由均匀的力画出直线PD，比一段时间，在此期间同一物体画出直线PE，按照PD比PE的二分之一次比，亦即（短线DE刚刚生成）按照PD比PD+ DE或者2PD比2PD +DE，则由分比，［物体画出直线PD的时间］比一段时间，在此期间同一物体画出短线DE，如同2PD比DE，且因此如同矩形2PD×DL比面积DLME；且时间，在此期间两物体画出短线DE，比一段时间，在此期间其中一个物体以不等的运动画出直线De，如同面积DLME比面积DLme，又由错比，最初的时间比最后的时间如同矩形2PD×DL比面积DLme。