命题XXXII 问题XXIV

假设向心力与位置离中心的距离的平方成反比，确定空间，它由直线下落的一个物体在给定的时间画出。

情形1 如果物体不竖直下落，此物体（由命题XIII系理1）画出其焦点与力的中心重合的圆锥截线。设那条圆锥截线为ARPB，其焦点为S。首先，如果图形为一个椭圆；在它的长轴AB上画半圆ADB，又直线DPC经过下落物体垂直于轴；再作DS，PS，面积ASD与面积ASP成比例，且因此亦与时间成比例。保持轴AB持续减小椭圆的宽度，则面积ASD总保持与时间成比例。那个宽度被减小以至无穷：现在轨道APB与轴AB，且焦点S与轴的端点B重合，物体在直线AC上下落，面积ABD变得与时间成比例。且因此空间AC被给定，物体由位置A竖直下落，在给定的时间画出这一空间，只要面积ABD取得与时间成比例，且由点D往直线AB上落下垂线DC。此即所求。

情形2 如果那个图形RPB为双曲线，对同样的主直径AB画直角双曲线^（22）（hyperbola rectangula）BED；且因为面积CSP，CBfP，SPfB比面积CSD，CBED，SDEB，一个对一个，按照高度CP，CD的给定的比；又面积SPfB与时间成比例，在此期间物体P的运动经过弧PfB；面积SDEB亦与同样的时间成比例。减小双曲线RPB的通径以至无穷并保持横截径，则弧PB与直线CB，且焦点S与顶点B，以及直线SD与直线BD重合。因此，面积BDEB与时间成比例，在此期间物体C竖直下落画出直线CB。此即所求。

情形3 由类似的论证，如果图形RPB为一条抛物线，且由同样的主顶点B画出另一条抛物线BED，它在前一抛物线，即物体P在其周线上运动的抛物线的通径减小并缩为零，曲线变为直线CB期间，总它保持给定；抛物弓形BDEB与时间成比例，在此期间那个物体P或者C落向中心S或者B。此即所求。