引理 XVII

如果由给定的圆锥截线上的任意点P，以给定的角向内接于那条圆锥截线的任意不规则四边形ABCD的无限延长的四边AB，CD，AC和DB引相同数目的直线PQ，PR，PS和PT，一条直线对一边：则向两对边所引［的直线］的矩形PQ×PR，比向另两对边所引［的直线］的矩形PS×PT按照给定的比。

情形1 首先我们假设向对边所引的线与其余边中的某一边平行，设为PQ和PR平行于边AC，且PS和PT平行于边AB。再设上面对边中的两边，设为AC和BD，彼此平行。则直线，它平分那些平行的边，是圆锥截线的一条直径，它也平分RQ。设O为一点，在此处RQ被平分，PO是属于那条直径的纵标线。延长PO至K，使得OK等于PO，则OK是属于那条直径异侧的纵标线。由于点A，B，P和K在圆锥截线上，且PK以给定的角截AB，所以（由阿波罗尼奥斯的《圆锥截线》卷III，命题17，19，21和23）矩形PQK比AQB按照给定的比。但QK和PR相等，由于相等的线OK，OP以及OQ，OR的差相等，由此矩形PQK和PQ×PR也相等；所以矩形PQ×PR比矩形AQB，这就是比矩形PS×PT按照给定的比。此即所证。

情形2 现在我们假设不规则四边形的对边AC和BD不平行。作Bd平行于AC，既交直线ST于t，又交圆锥截线于d。连结Cd截PQ于r，并作DM平行于PQ，截Cd于M且截AB于N。现在，由于三角形BTt，DBN相似，Bt或者PQ比Tt如同DN比NB。这样Rr比AQ或者PS如同DM比AN。所以，前项乘以前项且后项乘以后项，矩形PQ乘以Rr比矩形PS乘以Tt，如同矩形NDM比矩形ANB，且（由情形1）如同矩形PQ乘以Pr比矩形PS乘以Pt，又由分比，如同矩形PQ×PR比矩形PS×PT。此即所证。

情形3 最后我们假设四条直线PQ，PR，PS，PT不与边AC，AB平行，而对它们有任意的倾角。代替它们，引Pq，Pr平行于AC；且Ps，Pt平行于AB；因为三角形PQq，PRr，PSs，PTt的角给定，PQ比Pq，PR比Pr，PS比Ps，和PT比Pt为给定的比；因此复合比PQ×PR比Pq×Pr，PS×PT比Ps×Pt ［为给定的比］。但是，由前面的证明，Pq×Pr比Ps×Pt为给定的比；所以比PQ×PR比PS×PT ［为给定的比］。此即所证。